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Centrale Mathématiques 1 PC 2012

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries entières (et Fourier)

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sont deux entiers naturels, on note

le nombre de parties à

éléments d'un ensemble à

éléments.

I Approximation

I.A - Quelques calculs préliminaires

Dans cette sous-partie,

est un nombre réel et

est un entier naturel.
I.A.1) Montrer que

.
I.A.2) Montrer que

.
I.A.3) Montrer que

.
I.A.4) Déduire des questions précédentes que

I.B - Étude de

Soit

. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme

I.B.1) Majoration de

: première méthode

On note

l'ensemble des entiers tels que ,
l'ensemble des entiers tels que ,
et on pose

a) Montrer que

.
b) Montrer que

.
c) En déduire que

.
I.B.2) Majoration de

: seconde méthode
a) Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace

muni de son produit scalaire canonique.
b) À l'aide de la question I.A.4, en déduire que

I. - Application à l'approximation uniforme

Dans cette sous-partie, on note

l'espace vectoriel des fonctions continues de [ 0,1 ] dans

. On munit

de la norme de la borne supérieure, notée

Pour

, on définit le

-ième polynôme de Bernstein de

, noté

, en posant, pour tout

Le but de cette sous-partie est d'étudier

lorsque

est un élément de

vérifiant une hypothèse additionnelle.

I.C.1) Un exemple

pour tout

, déterminer, pour tout

, le polynôme

et en déduire la valeur de

.
I.C.2) Soit

. Montrer, pour tout

, la relation

I.C.3) a) Montrer que si

est

-lipschitzienne, alors

pour tout entier

.
b) En déduire que si

est de classe

, alors il existe un réel

tel que, pour tout

.
c) Étendre le résultat précédent au cas où

est une fonction continue, de classe

par morceaux.
I.C.4) Soit

une fonction continue,

par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel

, il existe un polynôme

à coefficients réels tel que

II Un théorème de Hardy-Littlewood

Soit

une suite réelle. On suppose que la série entière associée

admet pour rayon de convergence

et que la somme

de cette série, définie par

vérifie

On note

Ainsi,

est la moyenne arithmétique des nombres

.
Le but de cette partie est d'étudier le comportement des

lorsque

tend vers l'infini. On s'intéresse en particulier aux deux propriétés suivantes :

II.A - L'hypothèse II. 1 n'entraîne pas la propriété II. 2

II.A.1) Déterminer une suite réelle

telle que

II.A.2) En déduire un exemple de suite

vérifiant II. 1 mais ne convergeant pas vers 1 .

II.B - L'hypothèse II. 1 n'entraîne pas la propriété II. 3

II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction

ainsi que son rayon de convergence. Préciser si la série converge aux bornes de l'intervalle de convergence.
II.B.2) On considère les fonctions

. Déterminer des suites

telles que, pour tout

On explicitera en fonction de

, suivant la parité de

, les réels

.
II.B.3) Calculer

(moyenne arithmétique des nombres

).
II.B.4) Construire à l'aide de

un exemple de suite

vérifiant II. 1 mais ne vérifiant pas la propriété II.3.

Jusqu'à la fin de cette partie, on continue de supposer II. 1 et on fait l'hypothèse supplémentaire :

L'objectif principal, après quelques observations concernant la suite

, est de démontrer la propriété II. 3 (théorème de Hardy et Littlewood).
II.C - Majoration de la suite

II.C.1) Pour tout

et tout

, montrer que

.
II.C.2) Montrer l'existence d'un entier

tel que

II.C.3) En déduire que la suite

est majorée.
II.D - Minoration, à partir d'un certain rang, de

par un réel

On désigne par

un majorant de la suite

.
II.D.1) a) Pour tout

, montrer que

.
b) En déduire que pour tout

et tout

c) En déduire que pour tout

et tout

II.D.2) Soit

un réel strictement positif.
a) Montrer qu'il existe un entier

tel que pour tout

b) Montrer que pour tout

c) Déterminer en fonction de

la limite, quand

tend vers l'infini, du membre de droite dans l'inégalité précédente.
d) Montrer qu'il existe un réel

tel que cette limite soit strictement positive.
II.D.3) Conclure qu'il existe un réel

tel qu'à partir d'un certain rang on ait

II.E - Démonstration de la propriété II.3, due à Karamata

Soit

la fonction telle que

sinon.
On fixe un réel

. On définit deux applications continues

ainsi :

est affine sur

et coüncide avec

sur

;

est affine sur et coïncide avec sur .

Pour tout entier

on pose

.
On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypothèses II. 1 et II. 4
II.E.1) Calculer

.
II.E.2) Soit

un polynôme à coefficients réels. Montrer que

On considérera d'abord le cas particulier

, où

.
II.E.3) Établir l'existence de deux polynômes

à coefficients réels tels que :

II.E.4) Établir l'existence d'un entier

tel que pour tout entier

II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier

II.E.6) Conclure.