Centrale Mathématiques 1 PC 2013

Le problème se propose d'étudier par diverses méthodes une intégrale dépendant d'un paramètre. Cette intégrale provient de l'étude du « noyau de Poisson »

défini sur le disque unité ouvert du plan complexe. Elle permet d'établir un lien entre séries entières et séries de Fourier.
Les sous-parties III.B, III.C et III.D donnent des méthodes différentes en vue d'un même résultat. Elles doivent être traitées comme indépendantes entre elles.
On utilise les notations habituelles pour les ensembles et .

- Soit une suite réelle décroissante qui converge vers 0 , et une suite complexe telle que la suite définie pour tout par est bornée.
I.A.1) Montrer que, pour tout entier ,

I.A.2) En déduire que la série converge.
I.A.3) Application

Montrer que, pour tout , la série converge.
- On considère la série de fonctions , où est une variable réelle.
I.B.1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur .
I.B.2) Montrer qu'elle ne peut pas être la série de Fourier d'une fonction -périodique continue par morceaux.

On pourra commencer par rappeler la formule de Parseval.
I. - Soit la fonction de dans définie par

I.C.1) Montrer que est bien définie, continue et -périodique.
I.C.2) Déterminer la série de Fourier de .
I.C.3) Montrer que la fonction n'est pas de classe .

II Étude de la série entière
II.A - Soit .
II.A.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
II.A.2) Soit la fonction de dans définie par

a) Montrer que est de classe sur et que, pour tout ,

b) Montrer que, si ,

est bien défini et que .
II.B - Soit .
II.B.1) Montrer que, pour tout ,

II.B.2) En déduire que

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée.
II.B.3) En déduire que

II.B.4) Montrer que, pour tout ,

II. - Soit , une fonction -périodique, impaire, telle que .
II.C.1) Justifier l'existence et l'unicité de .
II.C.2) Déterminer la série de Fourier de .
II.C.3) En déduire que .

III Calcul de

III.A.1) Montrer que si est un réel différent de 1 et de -1 , alors pour tout .
III.A.2) Étudier la convergence des intégrales impropres

En déduire que, pour tout , l'intégrale converge.
III.A.3) Montrer que, quand tend vers ,

admet une limite, que l'on déterminera.
III.A.4) Montrer que est une fonction paire de la variable .

III.B.1) Soit .

Déterminer la série de Fourier de la fonction définie par .
On pourra utiliser le résultat de la question II.A.2.
III.B.2) En déduire que, pour tout , on a .

En déduire la valeur de dans le cas .
III.B.3) Montrer que l'intégrale impropre converge.
III.B.4) Montrer que .
III.B.5) En déduire que .
III.B.6) En déduire que .

Soit la fonction de dans définie par .
III.C.1) Montrer que est dérivable sur et que

III.C.2) En déduire que

III.C.3) En déduire que

On déterminera d'abord des coefficients et fonctions de tels que pour tout tel que ces fractions soient définies.
III.C.4) Montrer que est continue sur et que .

On pourra montrer que et utiliser le théorème de la convergence dominée.

III.D.1) Montrer que

III.D.2) Montrer que, pour tout et pour tout ,

III.D.3) En déduire que

III.D.4) En déduire pour .
III.D.5) Montrer que et

III.D.6) Montrer que .
III.D.7) En déduire que

Retrouver alors le résultat de la question III.B.6.

IV. - Soit une suite complexe. On suppose que la série converge. Pour , on note et on définit les fonctions et de dans par et .
IV.A.1) Justifier l'existence de .
IV.A.2) Soit et . Montrer

IV.A.3) Montrer que est continue sur .

Pour la continuité en 1 , fixer et montrer que si l'entier naturel vérifie pour tout , alors pour tout . Majorer ensuite le module de .
IV.A.4) Application : retrouver le résultat de la question II.B.3.
IV.B - Soit . Déterminer le développement en série entière de la fonction

sur un intervalle que l'on précisera.
IV.C - Soit une fonction -périodique et de classe . On considère la série de Fourier de en cosinus et sinus, notée

IV.C.1) Montrer que, pour tout et tout ,

IV.C.2) En déduire que, pour tout ,