J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 1 PC 2014

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionEquations différentielles
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2014
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2014PC MathsMaths 2014
2025_08_29_5bd3c336f6379f4c799cg

Mathématiques 1

Notations et conventions

  • Dans ce problème, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
  • On confond vecteur de et matrice colonne correspondante, ce qui permet des écritures du type où est une matrice carrée réelle de taille et un élément de .
  • Si est une fonction de classe de dans et si est un élément de , on note
ce qui, compte tenu de la convention précédente, s'écrit aussi
Si et sont deux entiers de , la -ème dérivée partielle de en est notée ou .
  • Le déterminant d'une matrice carrée est noté .
  • Avec les notations précédentes, on appelle matrice jacobienne de en et on note la matrice carrée réelle de taille dont le terme situé sur la -ème ligne et la -ème colonne est .
  • On appelle jacobien de en et on note , le déterminant de la matrice jacobienne .
  • On appelle divergence de en et on note , la trace de la matrice jacobienne . On a donc
Les quatre parties sont pour une large part indépendantes les unes des autres.

I Une interprétation du jacobien

- Soit une matrice carrée réelle de taille et un élément de . Soit l'application de dans définie par
Montrer que est de classe et préciser sa matrice jacobienne en tout point de .
- Dans cette section, désigne une fonction de classe de dans .
On fixe un élément de .
Soit la fonction de dans définie par
I.B.1) Justifier que est de classe sur et, pour tout réel , donner .
I.B.2) En déduire qu'au voisinage de 0
- Dans cette section, désigne une fonction de classe de dans vérifiant . Pour réel et entier de , on note l'élément ( ) de , le réel étant situé au rang .
I.C.1) On admettra que si des fonctions sont continues sur et à valeurs dans , alors la fonction définie sur par :
est continue sur .
En utilisant la question I.B. 2 et la multilinéarité du déterminant, montrer qu'au voisinage de 0
I.C.2) En déduire que
I.C.3) Dans le cas (respectivement ), donner une interprétation géométrique de la valeur absolue du jacobien de en 0 à l'aide d'aires de parallélogrammes (respectivement volumes de parallélépipèdes).

II Une interprétation de la divergence dans un cas particulier

On désigne par une matrice réelle carrée de taille 2 et on pose, pour tout dans .
II.A - Pour dans , exprimer à l'aide de seulement.
Pour dans , on note la solution sur du problème de Cauchy
Autrement dit, est l'unique fonction de dans telle que et, pour tout réel .
II.B - Dans cette section et la suivante, on suppose diagonale de la forme
II.B.1) Que vaut ?
II.B.2) Soit et deux éléments de et soit un réel. Montrer que
II.B.3) Utiliser le résultat précédent pour interpréter le signe de en termes de sens de variation de l'aire d'un certain parallélogramme comme fonction de .

II.C - Exemple

On suppose toujours que .
II.C.1) On pose et . On suppose que et . Déterminer une fonction telle que pour tout réel .
II.C.2) Dans cette question, et .
Pour chacun des cas suivants, illustrer sur une même figure les courbes représentatives des fonctions et , ainsi que les parallélogrammes de sommets et pour et une valeur de strictement positive.
a) et .
b) et .
c) et .

II.D -

II.D.1) Reprendre les questions II.B. 1 et II.B. 2 dans le cas où est triangulaire de la forme
II.D.2) Montrer que la relation
est valable lorsque la matrice possède un polynôme caractéristique scindé sur .
II.D.3) Étendre ce résultat au cas d'une matrice réelle quelconque.

III Matrice jacobienne symétrique, antisymétrique

Dans le début de cette partie est une fonction de classe de dans lui-même.
Si est un élément de , on note toujours
Si et sont trois entiers de , la dérivée partielle seconde de en par rapport aux variables et est notée ou , ou encore .
III. A - Justifier que, pour tout dans et tous et dans , on a .
III. B - Dans cette section, on suppose que la matrice jacobienne est antisymétrique pour tout dans .
III.B.1) Montrer que pour tout dans , et tous et dans .
III.B.2) En déduire que, pour tout dans et tous et dans , on a .
III.B.3) Montrer qu'il existe une matrice carrée réelle de taille et un élément de tels que pour tout dans .
Justifier que est antisymétrique.
III.B.4) Soit une fonction de classe de dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur , la matrice jacobienne est-elle antisymétrique pour tout dans ?
III. - Maintenant est une fonction de classe de dans lui-même.
Montrer que la matrice jacobienne est symétrique pour tout dans si et seulement si il existe de classe sur à valeurs dans telle que
On pourra considérer l'application définie par et on exprimera sous forme d'une seule intégrale.

IV Matrice jacobienne orthogonale

Dans cette partie, est une fonction de classe de dans lui-même.
On considère la proposition
Pour tout de , la matrice jacobienne de est orthogonale.
Pour dans et dans , on note
- On suppose ( ).
IV.A.1) Montrer que pour tous et de .
IV.A.2) En déduire que pour tous et de .
IV.A.3) Montrer qu'il existe une matrice orthogonale et un élément de tels que, pour tout de ,
On pourra interpréter les relations à l'aide de produits matriciels.
IV.B - Soit une fonction de classe de dans lui-même. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur , la proposition ( ) est-elle réalisée ?
est une fonction de classe de dans , on note (laplacien de en ). Montrer que ( ) est équivalente à la proposition
Pour toute fonction de classe de dans .
Centrale Mathématiques 1 PC 2014 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa