Centrale Mathématiques 1 PC 2016

On utilise la fonction Gamma d'Euler (partie I) pour calculer, en partie II, une intégrale dépendant d'un paramètre. En partie III, en liaison avec des variables aléatoires suivant une loi de Poisson, on détermine l'équivalent, quand , de sommes dépendant d'un paramètre entier . Les trois parties sont largement indépendantes.

Pour , on pose, lorsque cela a un sens, .
I.A -
I.A.1) Quel est le domaine de définition de la fonction ?
I.A.2) Pour tout , exprimer en fonction de et de .

En déduire, pour tout et tout , une expression de en fonction de et , ainsi que la valeur de pour tout .
I.A.3) Montrer l'existence des deux intégrales et et les exprimer à l'aide de .

I.B.1) Soit et deux réels tels que . Montrer que, pour tout et tout ,

I.B.2) Montrer que est de classe sur .

Soit et . Exprimer , dérivée -ième de au point , sous forme d'une intégrale.
I.
I.C.1) Montrer que s'annule en un unique réel dont on déterminera la partie entière.
I.C.2) En déduire les variations de sur . Préciser en particulier les limites de en 0 et en . Préciser également les limites de en 0 et en . Esquisser le graphe de .

Pour , on pose , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument .
II.A - Montrer que la fonction est définie et de classe sur .

Soit un entier naturel non nul et soit un réel. Donner une expression intégrale de , dérivée -ième de en . Préciser .

II.B.1) Montrer qu'au voisinage de , la fonction peut s'écrire sous la forme

où est la valeur de Gamma en un point à préciser. On exprimera en fonction de et de .

Quel est le rayon de convergence de la série entière qui apparaît au second membre de ( ) ?
II.B.2) On admet que .

Étudier si la série du second membre de ( ) converge absolument lorsque .
II.B.3) Soit la partie réelle et la partie imaginaire de .

Déterminer, au voisinage de 0 , le développement limité de à l'ordre 3 et de à l'ordre 4 .

II.C.1) Prouver que vérifie sur une équation différentielle de la forme , où est une fonction à préciser.
II.C.2) En déduire une expression de .

On pourra commencer par dériver la fonction .

Dans cette partie, désigne un réel strictement positif.
On rappelle qu'une variable aléatoire , à valeurs dans , suit la loi de Poisson de paramètre si, pour tout :

Pour tout sous-ensemble de désigne la probabilité de l'événement .
On note (série génératrice de la variable aléatoire ).
III.A - Soit une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson .
III.A.1) Déterminer .
III.A.2) Calculer l'espérance , la variance et l'écart type de .
III.A.3) Soit un réel strictement positif. Soit une variable aléatoire suivant la loi de Poisson et telle que et soient indépendantes. Déterminer la loi de .
III. B - Soit une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de loi . On rappelle que, quels que soient les entiers et les intervalles de

III.B.1) Pour tout entier , déterminer la loi de .
III.B.2) Déterminer l'espérance et l'écart type des variables aléatoires et .
III.B.3) Montrer que, pour tout , il existe un réel tel que, si et , on a .
III. - Dans cette sous-partie, on fixe deux réels et tels que .

Pour tout entier tel que , on pose

Pour , on pose .
On considère enfin la fonction définie par pour tout .
III.C.1) Montrer qu'il existe un réel tel que soit une fonction -lipschitzienne.
III.C.2)
a) Montrer que, si et , alors .
b) En déduire, lorsque est non vide, une majoration de

où est le plus petit élément de et est le plus grand.
c) Montrer que

III.C.3) Pour tout , on note .

Soit . Démontrer l'existence d'un entier tel que, pour tout et tout , les inégalités suivantes soient satisfaites :
а) ;

On utilisera la formule de Stirling .
b) .
III.C.4) Exprimer, sous forme d'intégrale, .
III.C.5) Comparer et , où et sont définies en III.B.
III.C.6) Déterminer les limites, quand , de

III.D.1) Déduire de la question III.C.6) la valeur de .
III.D.2) Déterminer un équivalent, lorsque , de

où désigne la partie entière du réel .
On interprétera comme la probabilité d'un événement lié à et donc à .
III.D.3) Pour , on note et .

Déterminer si et si .
III. - On suppose .
III.E.1) Déterminer .
III.E.2) En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, en déduire un équivalent de quand .
III. Si , déterminer un équivalent de lorsque .

Considérer l'intégrale et choisir convenablement le réel .