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Centrale Mathématiques 1 PC 2018

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Intégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées

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Centrale PC Centrale 2018 PC Maths Maths 2018

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Objectifs et notations

Ce problème étudie quelques aspects de l'équation de diffusion (1) :

.
Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long d'une barre métallique unidimensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une espèce chimique (par exemple un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des

).
Le problème est constitué de quatre parties.

La partie I permet de démontrer quelques résultats sur la transformée de Fourier d'une fonction continue et intégrable sur . Ces résultats sont utilisés dans la partie II.
La partie II aboutit à la résolution de l'équation (1) lorsqu'on impose à la solution d'être de classe et de vérifier certaines conditions.
La partie III étudie la stabilité du schéma numérique correspondant à la discrétisation de et de .
La partie IV fournit une interprétation probabiliste du paramètre qui détermine la stabilité étudiée dans la partie III.
Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et largement indépendantes entre elles.
On désigne par l'ensemble des fonctions de dans , de classe .
Pour toute fonction définie sur , pour tout réel , on note la fonction partielle définie sur ; de même, pour tout réel , on note la fonction partielle définie sur .
Si et sont deux entiers tels que , on note l'ensemble des entiers vérifiant .
Pour tout réel désigne la fonction .

I Préliminaires

Dans cette partie, on fixe un réel strictement positif

I.A - Quelques propriétés de

Q 1. Montrer que

est intégrable sur

.
Q 2. En admettant que

, donner la valeur de

.
Q 3. Étudier les variations de

. Montrer que la dérivée seconde de

s'annule en changeant de signe en exactement deux points. Donner l'allure de la courbe représentative de

et placer les deux points précédents.
I.

Soit

une fonction de

dans

, continue et intégrable sur

Q 4. Montrer que, pour tout réel

, la fonction

est intégrable sur

.
On définit alors la fonction

.
On dit que

est la transformée de Fourier de

.
Q 5. Montrer que

est continue sur

.
I.

- Soit

une fonction de

dans

, de classe

. On suppose que

et sa dérivée

sont intégrables sur

.
Q 6. Montrer que

tend vers zéro en

et en

.
Q 7. Montrer que, pour tout réel

I.D -

Q 8. Montrer que, pour tout entier naturel

, la fonction

est intégrable sur

On note

.
Q 9. Pour

entier naturel, donner une relation entre

et en déduire que, pour tout

Q 10. Montrer que, pour tout réel

, il existe une suite réelle

telle que

Q 11. En déduire que, pour tout réel

.
Q 12. On pose

. Montrer qu'il existe un réel

tel que

.
La valeur de

n'est pas à expliciter.

II Équation de diffusion avec une condition initiale gaussienne

Dans cette partie,

désigne un réel strictement positif. On cherche les éléments

vérifiant
i. l'équation de diffusion:

;
ii. les trois conditions de domination : pour tout réel

, il existe des fonctions

dans

, continues et intégrables sur

, telles que

iii. la condition aux limites:

Q 13. Montrer que la fonction

vérifie les conditions i et iii.
On admet que cette fonction vérifie également les trois conditions de domination ii. L'objectif est de démontrer que c'est la seule fonction de classe

sur

vérifiant i, ii et iii.
Pour cela, on note

une fonction qui vérifie i, ii et iii.
II.A -

Q 14. Justifier que, pour tout réel

et tout réel

, la fonction

est intégrable sur

.
On définit alors la fonction

sur

par:

.
Avec les notations de la partie I, on a ainsi, pour tout réel

.
Q 15. Montrer que, pour tout nombre réel

.
On pourra utiliser une suite quelconque

de réels strictement positifs convergeant vers zéro.
Q 16. Montrer que, pour tout réel

et tout réel

.
Q 17. En remarquant que

et en utilisant la question 7 , montrer que, pour tout réel

et tout réel

II.B -

Q 18. Montrer que, pour tout

, il existe un réel

tel que pour tout

.
Q 19. En utilisant la question 15 , déterminer, pour tout réel

, la valeur de

II. C -

Q 20. En déduire l'existence d'un réel

tel que, pour tout réel

et tout réel

Q 21. Donner la valeur de

.
On admet le résultat suivant :
si

sont des fonctions de

dans

, continues et intégrables sur

et vérifiant

, alors

.
Q 22. Soit

un réel strictement positif. Déduire des questions 20 et 12 l'existence d'un réel

tel que

Q 23. Montrer que la fonction

est constante.
On pourra utiliser le résultat de la question 17.
Q 24. En déduire que, pour tout réel

strictement positif,

III Étude numérique

Dans cette partie, on étudie, du point de vue numérique, un certain problème de diffusion.
On fixe une fonction

, continue sur

et de classe

sur

, vérifiant l'équation de diffusion

ainsi que les conditions aux limites

On suppose connue la fonction

et on se propose d'étudier une méthode de calcul numérique de

III.A -

Q 25. Soit

. Donner la limite, quand

tend vers zéro, de

.
Q 26. Soit

. Montrer que

.
III. B - Soit

un réel strictement positif et

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On pose

.
La méthode numérique retenue consiste à discrétiser

selon le pas

, ce qui amène à chercher une valeur approchée de

, notée

, pour

.
Compte tenu des questions 25 et 26 , l'équation de diffusion et les conditions aux limites conduisent à imposer, pour tout entier naturel

et tout

ainsi que

(on rappelle que la fonction

est supposée connue).
Pour

, on pose

.
On note

la matrice identité d'ordre

, et on définit la matrice

carrée d'ordre

par

Ainsi, pour tous

dans

, le coefficient de place

est égal à 1 si

et à 0 sinon.
Enfin, on pose

.
Q 27. Montrer que, pour tout

.
Q 28. Justifier que les matrices

sont diagonalisables sur

et que, pour tout

.
Q 29. Montrer que la suite

est bornée quel que soit le choix de

si et seulement si les valeurs propres de

appartiennent à

.
Soit

une valeur propre de

et soit

un vecteur propre associé.
Q 30. En considérant un coefficient de

dont la valeur absolue est maximale, montrer que

et justifier l'existence d'un élément

, tel que

.
Q 31. Montrer que, si on impose

, alors, pour tout

.
Q 32. En déduire qu'il existe

tel que

.
Q 33. Déterminer le spectre de

et une base de vecteurs propres de

.
Q 34. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur

pour que la suite

soit bornée quels que soient les choix de

et de

.
On dit alors que le schéma numérique retenu est stable.

IV Équation de diffusion et marche aléatoire

Le déplacement d'une particule dans une direction donnée sous l'action des chocs avec les particules voisines peut se modéliser par des déplacements successifs à droite ou à gauche équiprobables, d'une quantité strictement positive

, qui interviennent à intervalles de temps réguliers, le temps entre deux chocs étant égal à

.
Une variable aléatoire est dite de Rademacher si elle est à valeurs dans

et si elle prend les valeurs 1 et -1 avec la même probabilité

.
Soit

une suite de variables de Rademacher mutuellement indépendantes, définies sur un espace probabilisé

.
On note, pour tout entier

.
Ainsi, la variable aléatoire

modélise la position de la particule au temps

.
IV.

Pour tout

, on pose

Soit

.
Q 35. Déterminer la loi de la variable aléatoire

et celle de la variable aléatoire

.
Soit

un entier tel que

.
Q 36. Montrer que, si

ne sont pas de même parité, alors

.
On rappelle que

désigne le coefficient binomial «

parmi

»

.
Q 37. Montrer que, si

sont de même parité,

.
IV.B - Pour

réel, on note

la partie entière de

Q 38. Pour tous réels

, calculer

, variance de la variable aléatoire

.
Q 39. Montrer que, pour tout réel

est équivalent à

, lorsque

tend vers 0 par valeurs supérieures.
Q 40. Pour tout

et tout

, en posant

, montrer que

Q 41. En déduire une interprétation probabiliste de la condition de stabilité étudiée à la partie III.