J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 1 PC 2021

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généralisées
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2021
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2021PC MathsMaths 2021
2025_08_29_4fb1a645364a4027a932g
Ce sujet est divisé en trois parties.
  • Dans la première partie, on étudie une marche aléatoire sur qui modélise la trajectoire d'une particule. On s'intéresse en particulier au temps nécessaire pour que la particule revienne pour la première fois à son point de départ, si cela arrive. Pour cela, on introduit une suite de nombres appelés nombres de Catalan et on étudie leurs propriétés.
  • Dans la deuxième partie, entièrement indépendante de la première, on s'intéresse au calcul d'un déterminant à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.
  • Dans la troisième partie enfin, on utilise les résultats des deux premières parties pour calculer deux déterminants associés aux nombres de Catalan.

I Étude d'une marche aléatoire sur

Soit un espace probabilisé et soit une suite de variables aléatoires définies sur et à valeurs dans , mutuellement indépendantes, et telles que, pour tout ,
ù
On pose et, pour tout .
La suite modélise la trajectoire aléatoire dans d'une particule située en à l'instant initial , et faisant à chaque instant un saut de +1 avec une probabilité et de -1 avec une probabilité , les sauts étant indépendants et appartenant à .
Pour , on représente la trajectoire de la particule par la ligne brisée joignant les points de coordonnées .
Figure 1 Exemple de trajectoire possible

I.A - Espérance et variance de

Dans cette sous-partie, désigne un entier naturel non nul.
Soit la variable aléatoire sur égale au nombre de valeurs de telles que .
Q 1. Quelle est la loi de ? En déduire l'espérance et la variance de .
Q 2. Quelle relation a-t-on entre et . En déduire l'espérance et la variance de . Justifier que et ont même parité.

I.B - Chemins de Dyck et loi du premier retour à l'origine

Pour , on appelle chemin de longueur tout -uplet tel que .
On pose alors et, pour tout .
On représente le chemin par la ligne brisée joignant la suite des points de coordonnées .
Pour :
  • on appelle chemin de Dyck de longueur tout chemin de longueur tel que et ;
  • on note le nombre de chemins de Dyck de longueur .
On convient de plus que .
La suite est appelée suite des nombres de Catalan. On constate que et .
Figure 2 Représentation des chemins de Dyck de longueurs 2 et 4
Q 3. Donner sans démonstration la valeur de et représenter tous les chemins de Dyck de longueur 6 .
Soit et un chemin de Dyck de longueur . Soit .
On suppose et on considère les chemins et .
Q 4. Justifier à l'aide d'une figure que et que et sont des chemins de Dyck.
Soit et soit un chemin de longueur .
Pour , on note l'événement: «pour tout »; en d'autres termes,
Q 5. Soit et soit un chemin de Dyck de longueur . Pour , exprimer en fonction de et .
Soit la variable aléatoire, définie sur et à valeurs dans , égale au premier instant où la particule revient à l'origine, si cet instant existe, et égale à 0 si la particule ne revient jamais à l'origine :
Q 6. Montrer que prend des valeurs paires et que, pour tout .
I.B.1) Série génératrice des nombres de Catalan
Q 7. En utilisant la question 4, montrer
Q 8. À l'aide de la variable aléatoire , montrer que la série converge.
Q 9. En déduire que la série entière converge normalement sur l'intervalle .
On pose alors, pour tout ,
On rappelle que la série génératrice de , donnée par , est définie si .
Q 10. À l'aide des questions précédentes, exprimer à l'aide de et de .
Q 11. En déduire que si , alors admet une espérance.
Q 12. Montrer que .
Q 13. En déduire qu'il existe une fonction telle que
Q 14. Montrer que est continue sur . En déduire
Q 15. En déduire que . Interpréter ce résultat lorsque .
Q 16. Montrer que si , alors n'admet pas d'espérance.

I. - Expression des nombres de Catalan et équivalent

Q 17. Justifier l'existence d'une suite de réels telle que
et, pour tout , exprimer à l'aide d'un coefficient binomial.
Q 18. En déduire .
Q 19. Rappeler l'équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
Q 20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 11 et 16 .

II Calcul d'un déterminant à l'aide d'un système orthogonal

Dans cette partie, on suppose que l'espace vectoriel est muni d'un produit scalaire ( ) et on note la norme associée.
Pour tout , on note la matrice carrée de taille suivante :
On cherche à obtenir une expression du déterminant de à l'aide d'une suite de polynômes orthogonaux.

II.A - Définition et propriétés d'un système orthogonal

Dans muni du produit scalaire , on appelle système orthogonal toute suite de polynômes vérifiant les propriétés suivantes :
est une famille orthogonale, c'est-à-dire: ;
  • pour tout est unitaire et de degré .
Dans toute la partie II, on considère un système orthogonal .
Q 21. Montrer que, pour tout , la famille est une base orthogonale de l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Q 22. Soit et tels que . Montrer que .
Q 23. Soit un autre système orthogonal. Montrer que .
II.B - Expression de à l'aide de la suite
Soit et soit la matrice carrée de taille suivante :
On note la matrice de la famille ( ) dans la base ( ) de .
Q 24. Montrer que est triangulaire supérieure et que .
Q 25. Montrer que , où est la transposée de la matrice .
Q 26. En déduire que .

III Déterminant de Hankel des nombres de Catalan

Dans cette partie, on introduit un produit scalaire particulier sur et une suite de polynômes. On vérifie qu'il s'agit d'un système orthogonal pour ce produit scalaire, ce qui permettra d'appliquer les résultats de la partie précédente.

III.A - Produit scalaire

Q 27. Soit et . Montrer que la fonction est intégrable sur . Dans toute la partie III, on pose
Q 28. Montrer que ( ) est un produit scalaire sur .

III.B - Système orthogonal

Soit la suite de polynômes définie par et .
Q 29. Pour tout , montrer que est unitaire de degré , et déterminer la valeur de .
Q 30. Soit . Montrer que .
Q 31. Soit . Calculer .
Q 32. En déduire que est un système orthogonal et que, pour tout .
Pour calculer la valeur de ( ), on pourra effectuer le changement de variable .

III.C - Application

Pour tout , on pose .
Q 33. À l'aide d'une intégration par parties, montrer
Q 34. En déduire .
Q 35. Soit . Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant

III.D - Un autre déterminant de Hankel

Dans cette sous-partie, on pose, pour tout ,
et
Q 36. Soit tel que . Montrer .
Q 37. En déduire que , puis déterminer, pour tout , la valeur du déterminant .
Centrale Mathématiques 1 PC 2021 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa