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Centrale Mathématiques 1 PC 2023

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RéductionAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireTopologie/EVNNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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Centrale
Année
2023
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2023PC MathsMaths 2023
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L'objectif de ce sujet est d'établir le théorème de Perron-Frobenius pour une certaine classe de matrices symétriques. Ce théorème étudie les espaces propres d'une matrice associés aux valeurs propres de module maximal. Une application, en conclusion, montre une ouverture à l'analyse spectrale des matrices à coefficients positifs.
  • La partie I permet d'obtenir des résultats préliminaires, utiles pour les parties suivantes.
  • La partie II examine, à titre d'exemple, le cas des matrices à coefficients strictement positifs de taille deux.
  • La partie III s'intéresse au lien entre le rayon spectral d'une matrice et le comportement asymptotique de la suite de ses puissances successives ; elle est indépendante de la partie II.
  • La partie IV donne une démonstration du théorème pour une classe de matrices symétriques à coefficients positifs ; elle est indépendante des parties II et III.

Notations et définitions

désigne l'ensemble des réels ou l'ensemble des complexes.
Soit et deux entiers naturels non nuls.
  • On note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans et .
  • Si est une matrice de , on note la matrice de dont les coefficients sont et .
  • Une matrice de est dite positive (respectivement strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont positifs ou nuls (respectivement strictement positifs). La notation (respectivement ) signifie que la matrice est positive (respectivement strictement positive).
  • Si et sont deux matrices de , la notation (respectivement ) signifie que la matrice est positive (respectivement strictement positive). De même, la notation (respectivement ) signifie que la matrice est positive (respectivement strictement positive).
  • Les propriétés suivantes pourront être librement utilisées (sous réserve que les opérations correspondantes puissent être envisagées) :
  • ;
  • ;
  • si , alors ;
  • si et , alors .
  • On rappelle que le produit scalaire canonique de est défini, pour tous vecteurs et de , par
ù
La norme euclidienne (associée à ce produit scalaire) du vecteur est alors donnée par
  • Le spectre d'une matrice de est noté .
  • Le rayon spectral d'une matrice de , de spectre non vide, est le réel positif ou nul, noté , défini par
  • On dit qu'une norme est sous-multiplicative si, pour toutes matrices et de ,

I Résultats préliminaires

Q 1. Soit un entier naturel, et deux matrices de et un vecteur de . Montrer que
et que
Q 2. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs et de . En déduire que si est un entier naturel et sont des nombres complexes, alors
Q 3. Soit un nombre complexe tel que . Montrer que . En déduire que, si et sont deux nombres complexes vérifiant et , alors
Q 4. Soit un entier supérieur ou égal à 2 et des nombres complexes non tous nuls tels que
Montrer que
Dans le cas où , on pourra appliquer le résultat de la question précédente aux couples ( ) pour .

II Matrices strictement positives de

Soit et des nombres réels strictement positifs et .
Q 5. Exprimer le discriminant du polynôme caractéristique de en fonction de et .
Q 6. Montrer que . En déduire qu'il existe deux réels et , vérifiant , tels que soit semblable à la matrice .
Q 7. Montrer que .
Q 8. Montrer que la suite converge vers une matrice non nulle si et seulement si . En cas de convergence, préciser le rang de puis montrer que est la matrice d'un projecteur de .
Q 9. Soit et deux réels de et la matrice . Montrer que est semblable à la matrice et donner une matrice de , inversible, telle que .
Q 10. En déduire que la suite converge vers une matrice que l'on explicitera.

III Normes sous-multiplicatives sur ; rayon spectral

III.A - Exemples de normes sous-multiplicatives sur
Pour toute matrice de , on pose
Q 11. Montrer que est une norme sous-multiplicative sur .
Q 12. On admet que est une norme sur ; montrer que cette norme est sous-multiplicative.
Q 13. Soit une norme sous-multiplicative sur et une matrice inversible de . Montrer que l'on définit une norme sous-multiplicative sur en posant pour toute .

III.B - Rayon spectral

Soit un entier supérieur ou égal à 2 et une matrice de .

III.B.1)

Q 14. Soit une matrice inversible de . Comparer et .
Q 15. Justifier que est trigonalisable. Comparer, pour et et, pour et .
Q 16. Montrer que, pour toute norme sous-multiplicative sur , on a .
On pourra fixer une valeur propre de et mettre en évidence une matrice , non nulle, telle que .

III.B.2)

Le but de cette section est de montrer que, pour tout réel strictement positif , il existe une norme sur , sous-multiplicative (dépendant de et de ), telle que
À cette fin, on introduit, pour tout réel strictement positif , la matrice diagonale
et on considère une matrice triangulaire supérieure de .
Q 17. Calculer le produit en précisant, pour tout , l'expression du coefficient en position ( ) de la matrice en fonction de et des coefficients de la matrice .
Q 18. Montrer qu'il existe tel que, pour tout vérifiant , on a .
Q 19. Conclure.
III.B.3)
Q 20. Utiliser ce qui précède pour montrer que la suite converge vers la matrice nulle si et seulement si .

IV Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques positives

Soit un entier supérieur ou égal à 2 et une matrice non nulle de , symétrique et positive (c'est-à-dire à coefficients positifs ou nuls). On pose .

IV.A -

Q 21. Justifier que est diagonalisable sur . Que peut-on dire des sous-espaces propres de ?
Q 22. Montrer que .
On note la plus grande valeur propre de .
Q 23. Montrer que, pour tout vecteur , unitaire pour la norme euclidienne canonique,
On pourra faire le calcul dans une base orthonormée convenablement choisie.
Q 24. Montrer que cette inégalité est une égalité si, et seulement si, est un vecteur propre de associé à la valeur propre .
Q 25. Montrer que, pour tout vecteur unitaire ,
Q 26. En déduire que, pour toute valeur propre de , on a , et que .

IV.B -

Dans cette sous-partie uniquement, on suppose en outre que est strictement positive.
Q 27. Montrer que, si est un vecteur propre de , unitaire, associé à la valeur propre , alors est un vecteur propre de , unitaire, associé à la valeur propre , et que .
Q 28. Montrer que ou .
Q 29. Montrer que le sous-espace propre est de dimension 1.
On pourra raisonner par l'absurde en considérant deux vecteurs propres de orthogonaux associés à .
Q 30. Montrer que la multiplicité de , en tant que valeur propre, vaut 1 et en déduire que n'est pas valeur propre de .
Ainsi, est l'unique valeur propre de de module égal à .
Q 31. Montrer que cette propriété n'est pas forcément vérifiée si est seulement supposée positive.
On pourra chercher des exemples dans .

IV.C -

On suppose dans cette sous-partie qu'il existe un entier tel que est strictement positive. D'après la question 26, est une valeur propre de .
Q 32. Montrer que l'espace propre est de dimension 1, engendré par un vecteur strictement positif.
Q 33. Montrer que est l'unique valeur propre de de module égal à .
On pourra distinguer deux cas suivant la parité de .

IV.D - Une application : un théorème de Ky Fan

On admet que les résultats obtenus pour les matrices symétriques strictement positives, ou positives admettant une puissance strictement positive, restent vrais pour une matrice strictement positive. Ainsi, si est une matrice strictement positive, alors est l'unique valeur propre de de module maximal, elle est de multiplicité 1 en tant que valeur propre et son espace propre est de dimension 1 .
Soit une matrice quelconque de et une matrice strictement positive de .
Q 34. Montrer que
On suppose que, pour tout couple tel que , on a .
Q 35. Montrer que
On pourra considérer un vecteur propre de , strictement positif, associé à la valeur propre , et utiliser la matrice , où .
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