Centrale Mathématiques 1 PSI 2000

Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales définies dans la partie II.
Notations :

I.A - Soit une application de classe sur et à valeurs dans . Montrer que: .
I.B - On note , pour .
I.B.1) Justifier l'existence de .
I.B.2) Calculer .
I.B.3) Exprimer en fonction de et en déduire une expression de en fonction de .
I.B.4) Montrer que : , et en déduire : .
I.B.5) Déduire des résultats précédents l'égalité : .
I.C -
I.C.1) Soit un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale .

I.C.2) Soit . Prouver que l'application telle que pour et est de classe sur . On pourra écrire : , pour .
I.C.3) Déterminer

I.C.4) En déduire la valeur de lorsque , puis , puis .
I.D - En utilisant les résultats précédents et l'intégrale , montrer que la fonction admet pour limite lorsque tend vers en .
On posera .
I.E - En utilisant , montrer que l'application

II.A - Montrer que pour tout , l'application est intégrable sur . On pose :

II.B - Montrer que : ( a été définie en I.D).
II.C - Montrer : .
II.D - Montrer que : pour . (On pourra utiliser une partition judicieuse de l'intervalle d'intégration).

Pour et , on considère les applications

où désigne la dérivée d'ordre de .
III.A - Montrer que pour tout est intégrable sur .
III.B - Montrer que pour et , la valeur de l'expression ne dépend pas de .
III.C - Pour , prouver que la fonction admet en une limite finie, notée , et que, pour tout :

III.D - En déduire, pour .

III.E.1) Établir pour tout et tout les résultats suivants :

III.E.2) En déduire, en distinguant les cas et , une expression de du type où est une somme de nombres rationnels (on pourra faire intervenir dans les calculs).

Retrouver la valeur de , puis calculer et .

IV.A - Montrer, pour tout et tout réel positif l'existence de l'intégrale :

IV.B - Montrer que l'application est de classe sur , et qu'elle vérifie, pour tout , l'équation différentielle :

IV.C.1) Résoudre l'équation ( ).
IV.C.2) En déduire une expression de à l'aide de (on considérera les valeurs de et ).
IV.C.3) Montrer que quand tend vers et retrouver ainsi la valeur de .
IV.D - Exprimer à l'aide de et en déduire une expression de .
IV.E - En procédant de manière analogue à IV.C, obtenir et .
IV.F - Montrer que, pour tout peut se mettre sous la forme :

où et sont des fonctions polynômes vérifiant:
le degré de est égal à ;
le degré de est égal à ;
a même parité que ;
a même parité que .