Si , soit l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à . Pour dans , soit le polynôme . L'application ainsi définie est clairement un endomorphisme de . De plus, si , est stable par et on note l'endomorphisme de induit par . Soit la suite des polynômes de Hilbert, définie par :

Si , soient :

On convient d'autre part que . Pour dans , soit l'espace vectoriel des fonctions de dans de la forme :

a un rayon de convergence supérieur ou égal à . L'espace est appelé espace des fonctions entières.
On pourra utiliser la formule de Stirling :

La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes de tels que . La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques propriétés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la dernière question de I.

Soit dans .

I.A.1) Écrire la matrice de dans la base ( ) de .
I.A.2) Vérifier que est inversible ; expliciter .
I.B - Propriétés de la suite
I.B.1) Montrer que est une base de .
I.B.2) Si et , donner une expression simple de montrant que est dans . On distinguera les trois cas : et .
I.C - Polynômes de tels que

Soit dans . On décompose sur en :

I.C.1) Vérifier l'égalité suivante :

où est la transposée de la matrice .
I.C.2) Établir :

Si , que vaut ?
I.C.3) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:
a) ,
b) ,
c) .

En particulier les polynômes de tels que sont les combinaisons linéaires à coefficients dans des polynômes de Hilbert.
I.D - Description des suites de la forme où est un polynôme.

Soit une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) il existe tel que: ,
b)

Dans toute cette partie, on fixe : dans dans dans et dans . Pour dans on écrit donc :

a un rayon de convergence supérieur ou égal à .
Pour on note la fonction définie pour par:

(on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale).
II.A - Représentation intégrale de à partir des valeurs de sur II.A.1) Si , prouver :

II.A.2) Montrer :

Indication : on pourra partir de :

II.B.1) Justifier la définition de .
II.B.2) Montrer : .
II.B.3) Montrer : .

Indication : si , on pourra appliquer, avec justification, le résultat de II.B. 2 à puis faire tendre vers .
II.C - Division de par pour dans
II.C.1) Si , montrer la convergence de la série de terme général pour . On pose:

II.C.2) Montrer que, lorsque .
II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière est
supérieur ou égal à . Pour , on pose : supérieur ou égal à . Pour , on pose :

Vérifier : .

On suppose que , que s'annule en points distincts de .
II.D.1) Montrer qu'il existe dans telle que:

II.D.2) Si et que vaut

II.D.3) En appliquant II.B. 3 à au point , montrer :

II.D.4) On suppose où . Prouver :

On suppose que , est nulle sur et que lorsque , .
Montrer que .
Indication: on supposera par l'absurde , on appliquera II.D. 4 avec , et on fera tendre vers .

Soit dans .
III.A - Majoration de

Soient dans et un réel tel que .
III.A.1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

III.A.2) À l'aide de II.A.2, prouver :

III.A.3) Montrer :

On suppose ici
a) ,
b) Lorsque .

On va démontrer que est polynomiale (théorème de Pólya).
N.B. L'exemple de montre que la condition asymptotique (b) n'est pas loin d'être optimale.
III.B.1) En appliquant III.A. 3 à , prouver qu'il existe dans tel que

III.B.2) À l'aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.