Le but de ce problème est d'établir partie une identité relative à la fonction Gamma, due à Euler, puis d'en présenter partie VI une application à la distribution de Bolzmann dans un gaz de particules.

On définit la fonction d'Euler, pour tout réel , par :

- Montrer que la fonction est intégrable sur si, et seulement si, .
- Justifier que la fonction est de classe et strictement positive sur .
I. - Exprimer en fonction de et de .
I. - Calculer pour tout entier naturel .

Pour tout entier , on pose:

II. - À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que :

II.B - Pour tout entier , on note :

Justifier la convergence de la série .
En déduire qu'il existe un nombre réel tel que :

où .
II.C - En utilisant encore une intégration par parties, montrer que :

II.D - En déduire que

puis que :

Dans la suite on admettra que et on pourra utiliser la formule de Stirling :

Dans cette partie, nous allons établir l'identité d'Euler suivante :

On désigne par la suite de fonctions définies sur par :

et on définit pour tout réel les suites et par :

III. - Montrer que pour tout entier , la fonction est continue et intégrable sur .
III. - Montrer que, pour tout ,

III. - Montrer que, pour tout entier ,

III.

III. - Établir l'identité d'Euler (III.1).

Dans toute la suite, on définit une fonction sur par

où la notation désigne la partie entière de .
IV. - Dessiner soigneusement le graphe de l'application sur l'intervalle .
IV.B - Montrer que la fonction définie sur par :

est continue, de classe par morceaux et périodique de période 1.
- À l'aide d'une intégration par parties, justifier, pour , la convergence de l'intégrale suivante :

IV. - L'application est-elle intégrable sur ?
IV.E - Soit l'application définie pour tout par :

En reprenant l'intégration par parties de la question IV.C, démontrer que l'application est de classe sur et que pour tout ,

Nous allons maintenant établir une autre formule importante due à Euler, valable pour tout :

où est l'application définie à la partie IV.
On fixe donc et pour tout entier naturel , on définit par :

Montrer que pour tout entier naturel :

- En déduire que :

où

V.C.1) En utilisant la formule de Stirling, montrer que :

V.C.2) En déduire que :

V. - Montrer que pour tout réel strictement positif,

VI.A - Soient quatre nombres réels strictement positifs deux à deux distincts et deux nombres réels strictement positifs et . Soit la partie, supposée non vide, formée des quadruplets de vérifiant :

VI.A.1) Soit une fonction de classe sur .

Montrer que admet un maximum sur .
On note alors un point en lequel ce maximum est atteint.
VI.A.2) Montrer que si alors et peuvent s'écrire sous la forme

où l'on donnera explicitement en fonction de .
VI.A.3) En supposant qu'aucun des nombres n'est nul, déduire que

VI.A.4) Montrer que le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs ( ) et ( ) admet un sous-espace supplémentaire orthogonal engendré par les vecteurs et .
VI.A.5) En déduire l'existence de deux réels tels que pour tout on ait

VI.B - On définit la fonction pour tout de par

On suppose qu'il existe , les nombres étant tous les quatre non nuls, tel que

Montrer l'existence de deux nombres réels et vérifiant pour tout :

VI. Pour tout , on pose

VI.C.1) Montrer que pour tout

VI.C.2) Montrer l'existence d'un réel strictement positif tel que pour tout

Les calculs précédents interviennent dans la modélisation de gaz de particules correspondent à quatre niveaux différents d'énergies et aux nombres de particules qui se trouvent respectivement au niveau (pour un total de particules et une énergie totale ). Sous réserve d'équiprobabilité des répartitions, la probabilité d'être dans la configuration ( ) est donnée par .
En mécanique statistique, on pose comme principe que les particules vont se répartir de manière à ce que cette probabilité soit maximale. Cela revient à chercher la répartition qui maximise la somme , assujettie aux conditions de VI.A. Il découle alors du dernier résultat établi dans le problème, la loi de répartition de Bolzmann, à savoir que pour tous , si et sont assez grands : . D'autre part, un calcul utilisant conjointement la formule de Bolzmann donnant l'expression statistique de l'entropie et la relation (pour une transformation à volume constant) permet d'établir que .