On considère la famille de fonctions définies pour par

Ces fonctions sont sur -périodiques.
Pour tout , on note la famille des coefficients de Fourier exponentiels de la fonction .
Pour tout réel on a donc :

Le but du problème est d'étudier quelques propriétés des fonctions ainsi définies.

Soit un réel fixé.
I.A -
I.A.1) Justifier l'égalité

Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de ?
I.A.2) Montrer que pour tout dans lorsque tend vers .

On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de .
- En exprimant en fonction de , montrer que pour dans .
- Exprimer et en déduire les égalités suivantes pour dans :

Que peut-on dire de la parité de pour ?
Calculer .
L'étude préliminaire permet de restreindre l'étude des fonctions réelles à et de se limiter au cas où .

Soit un entier naturel.
II. - Justifier que pour réel, .
II.B - Montrer que pour réel,

II. C -
II.C.1) À l'aide de la formule d'Euler, justifier que pour dans ,

avec des constantes à préciser.
II.C.2) Vérifier que

II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour et :

Préciser le rayon de convergence.
II.C.4) Montrer que est de classe sur .

Soit dans , vérifier que pour réel

On approche à l'aide des sommes partielles

II.E.1) À partir de quelle valeur de la suite est-elle décroissante ?
II.E.2) On suppose . Majorer en fonction de ( avec

En déduire, pour fixé, une condition suffisante sur pour que .
La somme partielle est dite alors valeur approchée de à près.
II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d'arguments ( ) retournant une valeur approchée de à près. Les coefficients seront calculés par récurrence.

Soit un entier naturel. On étudie l'équation différentielle d'inconnue

On recherche des solutions dans l'ensemble .

III.A.1) En utilisant le développement de en série entière (II.1), montrer que est solution sur de (III.1).
III.A.2) Soit une solution dans de (III.1). On pose pour tout .

Montrer que est solution dans d'une équation différentielle du type

avec .
Préciser l'expression de la fonction et vérifier que .
III.A.3) Justifier que si est une solution non nulle de (III.2), alors pour .

En déduire que si est un zéro de , alors il existe un réel strictement positif tel que soit le seul point d'annulation de sur .
On dit dans ce cas que est un zéro isolé de .
III.A.4) Vérifier que les zéros de sur sont isolés.
III.B - Comportement asymptotique de en

On étudie ici le comportement asymptotique au voisinage de d'une solution de l'équation différentielle définie sur , avec :

Soit dans .
III.B.1) En considérant l'équation différentielle (III.3) sous la forme avec , la résoudre sur par la méthode de variation des constantes.
En déduire qu'il existe deux réels et tels que

III.B.2) On pose pour

a) Montrer qu'il existe des constantes réelles et telles que vérifie l'inégalité différentielle pour

Préciser les constantes et en fonction de et .
b) En déduire que est bornée sur puis que est bornée sur ce même intervalle.

Multiplier par et intégrer l'inégalité de la question précédente.
III.B.3) Justifier que

au voisinage de .
En déduire l'existence de constantes et telles qu'au voisinage de ,

III.B.4) Soit . Montrer qu'il existe un couple de réels ( ) tel que pour ,

On introduit l'équation différentielle

L'objectif de cette partie est de comparer les solutions des équations différentielles (III.2) et (IV.1) afin d'obtenir des informations sur les zéros des fonctions .
- En utilisant l'encadrement de la question II.E.2, montrer que . En déduire que possède un zéro .
On admettra que c'est le premier zéro de , c'est-à-dire que ne s'annule pas sur .
- En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier la fonction est strictement positive sur .
IV. - Dans cette question, on fixe et . On pose , pour .
IV.C.1) Justifier qu'il existe un réel tel que pour ( définie en III.A.2).
IV.C.2) Soit . On pose pour , solution de IV.1. On définit la fonction .
Vérifier que pour .
IV.C.3) On note et on suppose que ne possède pas de zéros sur .

Déterminer les signes de et de sur et aboutir à une contradiction. En déduire que possède un zéro dans tout intervalle avec .

On pourra distinguer les cas suivant le signe de sur .
- Soit .
IV.D.1) Montrer qu'on peut ordonner les zéros de , c'est-à-dire qu'il existe une suite strictement croissante de zéros de telle que ne s'annule pas sur [ et sur tout intervalle] avec dans et que .

Construire la suite par récurrence sur en montrant que l'ensemble des zéros de dans l'intervalle possède un plus petit élément.
IV.D.2) En déduire que la suite vérifie la propriété de répartition asymptotique :