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Centrale Mathématiques 1 PSI 2017

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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Centrale
Année
2017
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2017PSI MathsMaths 2017
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Mathématiques 1

Grandes déviations

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées discrètes.
La partie est composée de trois sous-parties mutuellement indépendantes , toutes trois utilisées dans la partie II.

Notations et rappels

Soient une variable aléatoire discrète réelle et une suite de variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé ( ), suivant toutes la loi de . On pose et, pour dans ,
Si est une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 1, on note l'espérance de .
Si est une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2, on note la variance de .
Si est une variable aléatoire à valeurs dans , on abrège « est d'espérance finie» en « ».
Si est un élément de , on dit que vérifie ( ) si .
On pourra utiliser la propriété suivante :
éé
Étant données deux variables aléatoires et définies sur ( ), on dit que est presque surement égale à lorsque .
On admet le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soient et deux sous-ensembles de disjoints. Alors toute variable aléatoire fonction des est indépendante de toute variable aléatoire fonction des .

I Premiers résultats

I.A - Une classe de variables aléatoires

I.A.1) Soient et deux variables aléatoires sur ( ) possédant un moment d'ordre 2 et telles que n'est pas presque surement nulle. Montrer que et que si et seulement s'il existe tel que est presque surement nulle.

I.A.2)

a) On suppose que est bornée. Justifier que vérifie pour tout dans .
b) On suppose que suit la loi géométrique de paramètre
Quels sont les réels tels que ? Pour ces , donner une expression simple de .
c) On suppose que suit la loi de Poisson de paramètre :
ù
Quels sont les réels tels que ? Pour ces , donner une expression simple de .
I.A.3) Soient et deux réels tels que . On suppose et .
a) Montrer , . En déduire .
Que peut-on en déduire sur l'ensemble ?
b) Soient dans dans . On note la fonction .
Déterminer les limites de en et . Montrer que cette fonction est bornée sur .
c) Montrer que .
d) On reprend les notations de la question b). Soient dans et deux réels tels que . Montrer qu'il existe tel que pour tout et pour tout .
I.A.4) Dans cette question, est un élément de et vérifie .
a) Montrer que l'ensemble des réels tels que est un intervalle contenant .
Pour dans , on note .
b) Montrer que si est fini, est continue sur et de classe sur l'intérieur de .
c) On suppose maintenant que est un ensemble infini dénombrable. On note où est une suite de réels deux à deux distincts et on pose pour tout .
En utilisant les résultats établis à la question I.A. 3 et deux théorèmes relatifs aux séries de fonctions que l'on énoncera complètement, montrer que est continue sur et de classe sur l'intérieur de .
d) Vérifier que pour dans l'intérieur de et dans .
e) Soit .
Montrer que est croissante sur et que, si n'est pas presque surement égale à une constante, est strictement croissante sur .

I.B - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On suppose que admet un moment d'ordre 2 .
I.B.1) Soit un élément de . Montrer que, pour dans ,
I.B.2) Si et sont deux nombres réels tels que , déterminer la limite de la suite définie par

I.C - Suites sur-additives

Soit une suite réelle telle que: .
On suppose que l'ensemble est majoré et on note sa borne supérieure.
I.C.1) Soient et des éléments de . On pose . Comparer les deux nombres réels et et montrer que .
I.C.2) On fixe dans et dans . En utilisant la division euclidienne de par , montrer qu'il existe un entier tel que pour tout ,
I.C.3) Montrer .

II Le théorème des grandes déviations

Soit un nombre réel.
II.A - Exposant des grandes déviations
II.A.1) Montrer .
II.A.2) Soient et dans .
a) Montrer que et ont même loi.
b) Soit un nombre réel. Montrer .
On suppose dans toute la suite du problème .
II.A.3) Montrer que la suite est bien définie et admet une limite négative ou nulle vérifiant
Dans toute la suite du problème, on suppose que vérifie pour un certain et n'est pas presque surement constante. On suppose également que est strictement supérieur à .
On se propose d'établir que (ce qui montre que la suite converge géométriquement vers 0 puis de déterminer .

II.B - Majoration des grandes déviations

L'intervalle et la fonction sont définis comme dans la question I.A.4.
II.B.1) Montrer que, pour dans et dans
II.B.2) On définit la fonction
a) Montrer que la fonction est minorée sur .
On note la borne inférieure de sur .
b) Donner un équivalent de lorsque tend vers 0 . En déduire .
c) Montrer .
En déduire que .
d) Dans chacun des deux cas suivants, déterminer l'ensemble des nombres réels a vérifiant les conditions et ; puis, pour vérifiant ces conditions, calculer .
i. suit la loi de Bernoulli avec .
ii. suit la loi de Poisson avec .

II.C - Le théorème de Cramer

On suppose ici que la borne inférieure de la fonction sur est atteinte en un point intérieur à . Soient un nombre réel intérieur à et tel que un nombre réel tel que .

II.C.1)

a) Calculer .
On admet alors (quitte à modifier ( ))
  • qu'il existe une variable aléatoire sur ( ) telle que et dont la loi de probabilité est donnée par
  • qu'il existe une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur ( ) suivant toutes la même loi que .
    b) Montrer
II.C.2) On admet que, si dans et si est une application de dans , on a
a) Pour dans , on pose . Montrer .
b) En utilisant les questions I.B.2, II.B.2c et le a) ci-dessus, montrer finalement que .
II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats du II.B.2d.
a) Soit dans . Pour dans , on pose
Déterminer la limite de la suite .
b) Soit dans dans . Pour dans , on pose
Déterminer la limite de la suite .
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