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Centrale Mathématiques 1 PSI 2022

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
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2022
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PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2022PSI MathsMaths 2022
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Notations et rappels

Pour et deux entiers naturels non nuls，on désigne par l＇ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans et l＇ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ． Si est une matrice de ，on note sa transposée．
Une matrice de est antisymétrique si ．
On désigne par l＇ensemble des matrices carrées d＇ordre à coefficients réels， la matrice identité d＇ordre et la matrice nulle d＇ordre ．
Si ，on note sa trace．
On note le sous－ensemble de formé des matrices inversibles．
On définit la suite des puissances de par
Une matrice est dite nilpotente s＇il existe un entier naturel tel que ．
On note le sous－ensemble de formé des matrices nilpotentes．
Si est une partie d＇un espace vectoriel ，on note le sous－espace vectoriel de engendré par ．
Toutes les variables aléatoires considérées dans les parties II，III et IV sont définies sur un même espace proba－ bilisé discret（ ）．
Étant donné une variable aléatoire réelle ，on note，sous réserve d＇existence， son espérance et sa variance．
On pourra utiliser，sans démonstration，le résultat suivant，connu sous le nom de lemme des coalitions ：
Si sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes，alors，pour tout entier naturel ，toute fonction de dans et toute fonction de de dans ，les variables aléatoires et sont indépendantes．
Dans la partie III，l＇espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique．Son produit scalaire est noté ．
On note ch la fonction cosinus hyperbolique．

Objectifs du problème et articulations entre les différentes parties

Ce problème porte sur l＇étude de certains sous－ensembles de et de ，où est un entier naturel non nul．
Dans la partie I，on étudie quelques propriétés de l＇ensemble ．Dans les parties II et III，on s＇intéresse à des variables aléatoires réelles et matricielles à coefficients dans ．Dans la partie IV，on établit，à l＇aide d＇outils d＇analyse et de probabilités，l＇existence d＇une famille de vecteurs unitaires de vérifiant certaines propriétés de nature euclidienne．
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes les unes des autres．Cependant，le résultat de la question 9 est utilisé dans la sous－partie II．C，ceux des questions 14 et 16 sont utilisés dans la sous－partie II．D et celui de la question 19 dans la partie IV．

I Partie I

I．A－Quelques résultats préliminaires

Q 1．Démontrer que l＇application
est une forme linéaire et que
Q 2. Montrer que l'application
est un produit scalaire sur .
Q 3. En déduire que si est une matrice de vérifiant alors .

I.B - Quelques propriétés de

Q 4. Montrer que, si est nilpotente, alors 0 est une valeur propre de et que c'est la seule valeur propre complexe de .
Q 5. Déterminer la trace et le déterminant d'une matrice nilpotente de .
Q 6. Montrer que, si est nilpotente, alors est nilpotente.
Q 7. On suppose que et sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que et sont nilpotentes.
Q 8. On suppose que et sont nilpotentes. En calculant , montrer que .
Q 9. Démontrer qu'une matrice de est nilpotente si et seulement si .
Q 10. Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la matrice nulle.
Q 11. Soit une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que , puis que .
Q 12. On suppose . Donner un exemple de matrice de de trace nulle et de déterminant nul, mais non nilpotente.

II Matrices aléatoires à coefficients dans

II.A - Quelques résultats algébriques

Soit la base canonique de . On note .
Q 13. Pour , exprimer en fonction de et de . En déduire que . (L'ensemble a été défini dans les notations présentées au début du problème.)
Soient matrices colonnes de , avec non nulle.
Q 14. Démontrer que, si la famille est liée, alors il existe un unique tel que
Soit une famille libre de et .
Q 15. Démontrer qu'il existe des entiers vérifiant tels que l'application
soit bijective.
On pourra s'intéresser au rang de la matrice de dont les colonnes sont .
Q 16. Soit un sous-espace vectoriel de de dimension . Démontrer que

II.B - Une loi de probabilité

On dit qu'une variable réelle suit la loi si
Q 17. Si suit la loi , préciser la loi de la variable aléatoire .
Q 18. Calculer l'espérance et la variance d'une variable suivant la loi .
Q 19. Soient et deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi . Déterminer la loi de leur produit .

II.C - Un premier procédé de génération de matrices aléatoires à coefficients dans

Jusqu'à la fin de la partie II, est un entier naturel non nul et sont variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi . La variable aléatoire matricielle est alors à valeurs dans .
On pose et .
Q 20. Calculer l'espérance et la variance de la variable .
Q 21. Calculer l'espérance de la variable .
Q 22. Démontrer que la variance de la variable est égale à !
On pourra développer selon une rangée et raisonner par récurrence.
Dans le cas particulier et sont quatre variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi et .
Q 23. Calculer la probabilité de l'événement .
Q 24. Calculer la probabilité de l'événement .

II.D - Une généralisation

L'objectif de cette sous-partie est de prolonger le dernier résultat de la partie précédente, en trouvant, dans le cas général où est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , un minorant de la probabilité de l'évènement .
II.D.1) On considère variables aléatoires réelles et mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi .
Q 25. Soit . Calculer .
On considère les matrices colonnes aléatoires et .
Q 26. Démontrer que, pour tout , la famille est liée si et seulement s'il existe tel que .
Q 27. En déduire est liée .
II.D.2) On rappelle que sont variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi , que est la matrice aléatoire à valeurs dans dont, pour tout , le coefficient situé à la ligne et la colonne est égal à .
On note
les variables aléatoires à valeurs dans constituées par les colonnes de la matrice .
Pour tout , on note l'événement
et l'événement
Q 28. Montrer que est un système complet d'événements.

II.D.3)

Q 29. Montrer que
Q 30. Justifier que, pour tout ,
Q 31. En déduire que, pour tout ,
Q 32. En déduire que

III Un autre procédé de construction de matrices aléatoires à coefficients dans

Soit . On définit une suite ( ) de matrices aléatoires d'ordre à coefficients dans selon le procédé suivant :
  • on note la matrice réelle d'ordre dont tous les coefficients sont égaux à 1 ;
  • pour tout entier naturel , on construit la matrice à partir de la matrice en conservant chaque coefficient de égal à -1 et en changeant en -1 avec la probabilité chaque coefficient de égal à 1 .
    Chaque coefficient égal à 1 a donc la probabilité de ne pas être modifié ;
  • le processus s'arrête quand la matrice obtenue est égale à .
On suppose avoir utilisé l'instruction
import numpy as np, numpy.random as rd
pour charger les bibliothèques numpy et numpy. random. Voici quelques fonctions de ces bibliothèques qui peuvent être utiles dans cette partie:
  • np.ones( ) crée un tableau numpy de taille dont tous les éléments valent 1 ;
  • A. shape est un tuple qui contient les dimensions du tableau A;
  • A. size donne le nombre total d'éléments du tableau ;
  • A.sum() renvoie la somme de tous les éléments du tableau A;
  • rd.binomial(1, p) simule une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Q 33. Écrire en Python une fonction modifie_matrice(p, A) qui prend en argument une probabilité et un tableau numpy représentant une matrice . Cette fonction modifie le tableau A selon le procédé décrit ci-dessus.
Q 34. En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une fonction nb_tours (p, n) qui prend en argument une probabilité et l'ordre des matrices et renvie le plus petit entier tel que , en partant de la matrice .
Q 35. Écrire en Python une fonction moyenne_tours(p, n, nbe) qui prend en argument une probabilité , l'ordre des matrices et un nombre entier nbe et qui renvoie la moyenne, sur nbe essais effectués, du nombre d'étapes nécessaires pour passer de à .

IV Vecteurs aléatoires unitaires

On suppose que est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
On désigne par un sous-ensemble de ayant au moins deux éléments et par une suite de vecteurs unitaires de .
Q 36. Démontrer que le nombre réel
existe et appartient à l'intervalle .
s'appelle paramètre de cohérence de la suite .
Q 37. Montrer que si , alors l'ensemble est fini et donner un majorant de son cardinal.
On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel inférieur ou égal à exp ( ), il existe une famille de vecteurs unitaires de vérifiant où est un nombre réel de l'intervalle . On dit alors que est une famille «presque orthogonale».
Q 38. Démontrer que, pour tout nombre réel .
Soient des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi (définie dans la sous-partie II.B). On définit les vecteurs aléatoires, et à valeurs dans .
Q 39. Démontrer que, pour tout nombre réel ,
Q 40. En déduire que, pour pour tout nombre réel ,
Soient et deux nombres réels strictement positifs et une variable aléatoire réelle telle que est d'espérance finie et vérifie
Q 41. En appliquant l'inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que
Q 42. En déduire que
Q 43. Avec les notations et les hypothèses de la question 39, démontrer que
étant un entier naturel non nul, est une famille de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes de même loi . Pour tout , on pose .
Q 44. Déduire des questions précédentes que
Q 45. On suppose que . Démontrer que
Q 46. En déduire que, pour tout entier naturel inférieur ou égal à , il existe une famille de vecteurs unitaires de dont le paramètre de cohérence est majoré par .
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