Version interactive avec LaTeX compilé
Centrale Mathématiques 1 PSI 2024
Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensPolynômes et fractionsIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
Notations
- On note
l'ensemble des polynômes à coefficients dans . - Tout au long du sujet, un polynôme de
sera identifié à sa fonction polynomiale. - Une fonction de
dans continue est dite intégrable sur si et seulement si converge. - Pour une famille de polynômes
, on appelle l'espace vectoriel engendré par cette famille, c'est à dire :
Le sujet illustre des applications du calcul de l'intégrale de Gauss dans différents domaines.
La partie I est consacrée au calcul de cette intégrale.
La partie II est consacrée à la résolution d'une équation différentielle du second ordre à l'aide des séries entières. Elle utilise le résultat final de la partie I. Elle est totalement indépendantes des deux parties suivantes.
La partie I est consacrée au calcul de cette intégrale.
La partie II est consacrée à la résolution d'une équation différentielle du second ordre à l'aide des séries entières. Elle utilise le résultat final de la partie I. Elle est totalement indépendantes des deux parties suivantes.
La partie III est consacrée à l'étude d'un endomorphisme autoadjoint de
La partie IV est consacrée à montrer des propriétés sur la famille de polynômes construite à la partie III. Le but est d'établir que c'est une famille totale d'un espace préhilbertien. Ce résultat est en fait un résultat général dans la théorie des espaces de Hilbert.
I Partie I: Intégrale de Wallis et Intégrale de Gauss
Q1. Étudier la monotonie de la suite (
Q 2. Montrer que
Q 3. Montrer que
Q 4. En déduire que
Q 5. Justifier l'existence de
Q 6. Montrer que
Q 7. En utilisant le changement de variable
Q 8. En déduire la valeur de
II Partie II : Autour d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle définie sur
II.A -
Q 9. Déterminer les solutions développables en série entière de II. 1 sur
Q 10. Démontrer qu'il existe une unique solution développable en série entière, notée
II.
Q 10. Démontrer qu'il existe une unique solution développable en série entière, notée
II.
Q 11. Montrer que
Q 12. Montrer que
Q 13. Montrer que
Q 12. Montrer que
Q 13. Montrer que
III Partie III: Étude d'un endomorphisme sur un espace préhilbertien
III.A - Les polynômes d'Hermite.
On note
En particulier :
Q 14. Calculer, pour tout
Q 15. Montrer, pour tout
Q 14. Calculer, pour tout
Q 15. Montrer, pour tout
Q 16. En déduire que, pour tout
Q 17. Déterminer, pour tout
Q 17. Déterminer, pour tout
III.B - Un produit scalaire.
On note
Q 18. Montrer que
Q 19. On note
Q 18. Montrer que
Q 19. On note
On notera ||.|| la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.
III.C - Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite
Q 20. Montrer, pour tout
Q 21. En déduire, pour tout
Q 22. Montrer que, pour tout
Soit
Q 23. Montrer :
Q 24. En déduire la valeur de
Q 22. Montrer que, pour tout
Soit
Q 23. Montrer :
Q 24. En déduire la valeur de
III.D - Étude d'un endomorphisme autoadjoint
On note
Q 25. Montrer que
Par la suite, on notera
On admet que
Q 26. Etablir :
Q 27. En déduire:
Q 28. Montrer que, pour tout
Q 29. Montrer que
Q 30. Soit
Q 31. Établir, pour tout
Par la suite, on notera
On admet que
Q 26. Etablir :
Q 27. En déduire:
Q 28. Montrer que, pour tout
Q 29. Montrer que
Q 30. Soit
Q 31. Établir, pour tout
Soit
Q 32. Montrer que
Q 33. Justifier, d'une deuxième manière, que
Q 32. Montrer que
Q 33. Justifier, d'une deuxième manière, que
Q 34. Donner une base orthonormale de
IV Partie IV : Une famille totale
Dans cette partie, nous conservons les notations de la partie III. L'espace
Q 35. Soit
On pourra écrire
On pourra écrire
On définit ainsi
Q 36. Montrer que, pour tout entier naturel
On note
Q 37. Soit
On note
Q 37. Soit
Q 38. Montrer que
Dans la suite de la partie, on suppose que
Dans la suite de la partie, on suppose que
Q 39. Montrer que
Q 40. En déduire que
Q 41. Conclure.
Q 40. En déduire que
Q 41. Conclure.