Centrale Mathématiques 1 PSI 2025

Dans tout ce problème, désigne un entier naturel non nul, et on rappelle que désigne l'ensemble des matrices carrées à lignes et colonnes. On note le sous-espace vectoriel de des matrices diagonales.
On rappelle que l'on désigne par la transposée d'une matrice .
Pour alléger les notations, on identifiera les vecteurs de aux matrices colonnes de .
On désignera par la base canonique de .
On munit de la norme , en posant pour tout qui est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique de où par définition, pour tout et de .
Pour toute matrice de on note le réel défini par : .
On note par ailleurs l'ensemble des matrices symétriques positives de et par l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .

On se propose dans cette partie de montrer que l'application donnée sur par :

est une norme sur et d'en étudier quelques propriétés.

Dans toute cette partie, on considère une matrice quelconque de dont on note les lignes et les colonnes, que l'on pourra identifier à des éléments de .

Q1. Soit tel que . En notant , montrer que :

On pourra au préalable s'intéresser à la ligne de la matrice et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les vecteurs de .

Q2. En déduire que l'application est bien définie, puis que : .
Q3. Montrer que l'application ainsi définie est une norme sur .
Q4. En est-il de même pour l'application ?
Q5. Soit dont on note les termes diagonaux.
Vérifier que .

Q6. À l'aide de l'application , démontrer que : .
Q7. Établir que: .
Q8. Soit une autre matrice quelconque de . Montrer que :

Q9. Montrer que: .
Q10. Déterminer dans le cas où toutes les colonnes de sont nulles, sauf la dernière.
En déduire dans le cas où .

Dans cette partie, désigne une matrice quelconque de et une matrice orthogonale de .
Q11. Déterminer .
Q12. Démontrer que et sont égales.
Q13. En considérant où tel que , démontrer que .
Q14. On suppose de plus dans cette question uniquement que la matrice est une matrice symétrique réelle de .
Montrer que : .
Q15. Déterminer dans le cas où .

On définit sur l'application notée cond par: cond:

Dans toute cette sous-partie, désigne une matrice inversible de et une matrice orthogonale de .
Q16. Montrer que : .
Q17. Quel lien a-t-on entre cond et pour ?
Q18. Démontrer que .
Q19. Que dire de et de ?

On suppose dans cette partie uniquement que où : .
Q20. On considère le vecteur de donné par : . Montrer que .
Q21. Déduire de ce qui précède que .
Q22. Justifier , pour en déduire que .

Q23. Soit une matrice de .
On considère une base diagonalisante orthonormée de où pour tout est un vecteur propre associé à la valeur propre notée et où l'on suppose que sont les valeurs propres de comptées avec leur ordre de multiplicité.
Montrer que: .
Q24. Soit non nulle.
Démontrer que la matrice appartient à pour établir que .
Q25. Déduire de ce qui précède que pour non nulle : .
Q26. On suppose dans cette question que est une matrice inversible.
En remarquant que , démontrer que les matrices et ont exactement les mêmes valeurs propres.

Q27. Soit inversible. On note et respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs propres de la matrice et où l'on suppose que l'on a .
Montrer que : .
Q28. Exprimer cond lorsque appartient à à l'aide des valeurs propres de en remarquant que .

Dans toute cette partie, on désigne par la matrice de donnée par : .
Le but de cette partie est de déterminer la valeur de en commençant par déterminer les éléments propres de la matrice .

Q29. Montrer que les valeurs propres de sont réelles.
Q30. Soit tel que . On considère le vecteur de donné par :

Montrer que est un vecteur propre de et préciser la valeur propre associée.
Q31. En déduire l'ensemble des valeurs propres de .
Q32. Déterminer alors la valeur de .

Dans toute cette partie, désigne une matrice de et on désigne par l'ensemble de ses valeurs propres où l'on suppose que et comptées avec leur ordre de multiplicité, et on désigne par une base orthonormée de formée de vecteurs propres de .
On se propose d'établir le résultat suivant, appelée inégalité de Kantorovich :

On désigne par le polynôme de donné par .
Q33. Exprimer à l'aide des valeurs propres de .
Q34. On admet que l'application est un produit scalaire sur .
À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que: .
Q35. Montrer que: .
Q36. Déterminer les valeurs propres de la matrice et en déduire que pour tout .
Q37. Pour fixé, on désigne par la fonction polynôme de degré 2 définie par :

Vérifier que , montrer que , puis établir que :

Q38. Déduire de ce qui précéde l'inégalité de Kantorovich.

On admet que, pour établir la relation ( ), il suffit de la vérifier pour un vecteur de norme 1 .
Dans toute cette partie, désigne donc un vecteur de de norme 1 dont les coordonnées sont données dans la base .

On considère alors un espace probabilisé ( ), et on définit la variable aléatoire par :

Q39. Justifier que l'on définit bien une loi de probabilité pour .
Q40. Justifier que et admettent une espérance, puis les exprimer en fonction de et de .
Q41. En remarquant que la variable aléatoire est négative, établir l'inégalité suivante :

Q42. En déduire alors que: .
Q43. Déduire de ce qui précède la seconde partie de l'inégalité de Kantorovich.