Centrale Mathématiques 1 TSI 2001

Les parties II, III et IV sont relativement indépendantes.

Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4 .
sont points tous distincts dans un plan. Ces points sont, dans cet ordre, les sommets d'un polygone convexe. Autrement dit, en convenant que la propriété suivante est vérifiée : pour tout côté du polygone, tous les sommets du polygone autres que et sont du même côté de la droite joignant à .
On appelle diagonale du polygonetout segment joignant deux sommets non consécutifs. On trace un certain nombre de ces diagonales de manière à découper le polygone en triangles. Les diagonales utilisées ne doivent avoir, deux par deux, aucun point commun à l'intérieur du polygone.
Pour n fixé, on note le nombre de découpages possibles du polygone.
Pour , par exemple, il y a deux découpages possibles, l'un utilisant la diagonale et l'autre utilisant la diagonale , donc .
I.A - Ici, . Montrer que le triangle figure dans 2 découpages possibles, le triangle dans un seul découpage et le triangle dans 2 découpages possibles.
En déduire que .
I.B - Ici, . Combien y-a-t-il de découpages possibles du polygone dans lesquels figurent le triangle ? le triangle ? le triangle ? le triangle ?
Calculer .
I.C - J ustifier que

I.D - Donner en la justifiant, une formule généralisant les précédentes et permettant, pour , de calculer connaissant .

I.E - On convient que . Montrer que l'on , pour tout supérieur ou égal à 3 ,

I.F - Écrire une procédure ou une fonction qui, recevant à l'entrée la valeur de , renvoie un tableau contenant les valeurs . Ce programme sera écrit dans le langage du logiciel de calcul formel connu du candidat, qui sera précisé sur la copie. II devra être accompagné de commentaires I e rendant compréhensible par le correcteur.

On se propose, dans cette partie, d'expliciter l'entier défini dans la première partie. On convient que .
II.A - Montrer que l'on a, pour tout supérieur ou égal à 3 ,

II.B - Soit une suite de réels tels que la série entière ait un rayon de convergence non nul. Pour , on pose:

II.B.1) Soit m fixé dans IN . Montrer que, sur ]-r, r[, la fonction h définie par

II.B.2) En déduire que g admet, au voisinage de 0 , un développement limité d'ordre . Préciser la partie polynomiale de ce développement limité.
II.B.3) Si est un entier inférieur ou égal à , quel est le coefficient de dans le développement limité d'ordre , au voisinage de 0 , de la fonction a désigne le produit du réel par lui-même).

Quel est le coefficient de dans le développement limité d'ordre de la fonction xa ?
II.C - On revient à la suite . On note le rayon de convergence de la série entière et on utilise la fonction définie sur [ par

II.C.1) Que peut-on dire, si R n'est pas nul, de l'existence et de la valeur de ?
II.C.2) Dire pourquoi les résultats de II.B suggèrent qu'on a peut-être, si n'est pas nul :

II.C.3) Trouver un réel , le plus grand possible, et une fonction (que l'on explicitera en résolvant une équation du second degré) définie et continue sur , dérivable en 0 avec , tels que:

II.D.1) Le réel étant fixé, rappeler le développement en série entière de la fonction et son rayon de convergence.
II.D.2) En déduire le développement en série entière de la fonction . On essaiera d'écrire le coefficient de dans ce développement sous la forme d'une fraction dont les deux termes seraient des produits d'entiers.
II.D.3) Donner de une expression, valable pour , sous formede série entière.
II.D.4) En utilisant II.C. 3 et II.B.3, montrer que, pour tout entier naturel , le coefficient de dans le développement de en série entière est exactement égal à .
II.E - Déduire de tout ce qui précède une expression simple de , valable pour tout entier supérieur ou égal à 2 , et utilisant le coefficient binomial .
On rappelle que, avec la convention , on a .
II.F - En déduire que, pour supérieur ou égal à 2 , I'entier est divisible par l'entier .

On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent del'entier défini dans la première partie. Pour , on considère l'intégrale

III.A - Établir l'existence de pour . Calculer et .

III.B.1) Montrer que ( ) est une suite décroissante.
III.B.2) Montrer que pour .
III.B.3) En déduire que est équivalent à lorsque .
III.C - Montrer, en utilisant III.B.2, que est une constante que I'on explicitera.
En déduire un équivalent de lorsque .
III.D - Pour , calculer puis exprimer au moyen de . En déduire un équivalent de Iorsque .

On se propose dans cette partie d'étudier la fonction définie par

IV.A - Montrer que :

Étudier les variations et tracer le graphe de la restriction de à .
IV.B - Soit .
IV.B.1) Soit . Montrer que

IV.B.2) En déduire que

IV.B.3) est-elle définie pour ? est-elle définie pour ?
IV.C - Conclure quant à l'ensemble de définition de . La fonction est-elle continue sur cet ensemble? Donner de une expression simple valable pour tout appartenant à l'ensemble de définition.

IV.D.1) Citer les théorèmes qui permettent de justifier la dérivabilité de la série entière définissant sur , d'écrire comme somme d'une série entière que l'on explicitera, et de donner le rayon de convergence de cette série.
IV.D.2) Montrer que est solution, sur , del'équation différentielle (E) linéaire du premier ordre

où est un polynôme du second degré que l'on déterminera.
IV.D.3) Vérifier que la fonction est solution de (E) sur IR.
IV.D.4) Résoudre (E) sur chacun des intervalles

IV.D.5) Vérifier que est la seule solution de (E), de classe sur , avec une dérivée nulle en 0 .

IV.E.1) La fonction ' est-elle bornée sur ?
IV.E.2) La série entière égale à pour
est-elle convergente pour ?
IV.E.3) On note
. Vérifier que l'on a pour tout .
En déduire la nature de la série de terme général et la nature de la suite .
IV.E.4) La série entière égale à pour est-elle convergente pour ?
est-elle dérivable en ce point?