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Centrale Mathématiques 1 TSI 2004

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries entières (et Fourier)
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Centrale
Année
2004
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2004TSI MathsMaths 2004
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MATHÉMATIQUES I

Partie I -

On considère l'intégrale :
où désigne un entier naturel.

I.A -

I.A.1) Déterminer une relation de récurrence entre et .
I.A.2) En déduire une expression de et à l'aide de factorielles.

I.B -

I.B.1) Montrer l'équivalence : .
I.B.2) Montrer que la suite avec est constante et en déduire l'équivalence : .

I.B.3) Application 1

Montrer, lorsque , réel, tend vers , l'équivalence :

I.B.4) Application 2

 l'aide de la série de terme général , montrer que l'intégrale impropre est divergente.
I.C - On pose, pour et .
I.C.1) Montrer l'équivalence :
I.C.2) En déduire que la suite est convergente. On notera sa limite.

Filière TSI

I.D - Établir l'existence d'une constante telle que :
I.E - En utilisant la question I.B.2, en déduire l'équivalent de Stirling :

Partie II -

On considère les séries entières :
II.A - Montrer que la première série entière définit une fonction continue sur et calculer sa somme .
II.B - On considère la seconde série entière.
II.B.1) Déterminer son rayon de convergence. On note sa somme, là où elle converge.
II.B.2) Montrer que cette série entière converge pour et calculer .
II.C - Déterminer la limite à gauche de en 1 .

II.D -

II.D.1) Montrer l'existence d'une limite à gauche en 1 de .
II.D.2) On pose, pour entier strictement positif,
Montrer que la suite est décroissante.
II.D.3) Montrer que converge vers un réel strictement positif.
II.E - Établir que .

II.F - Une expression intégrale de .

On pose .
II.F.1) Montrer l'existence de .
II.F.2) Montrer que et que l'application est bornée sur .
II.F.3) Montrer que pour tout , on a
II.F.4) Montrer que pour et , on a
II.F.5) Calculer l'intégrale
II.F.6) En déduire .

Partie III -

On considère deux séries entières et . On fait les hypothèses
suivantes :
  • La suite est à termes positifs.
  • La série diverge.
  • a un rayon de convergence égal à 1 .
On note et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence.

III.A -

III.A.1) Montrer que a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
III.A.2) On fixe un réel strictement positif.
Montrer qu'il existe un entier naturel tel que pour tout tel que ,
III.A.3) En déduire qu'au voisinage de 1
III.B - Montrer que si l'on remplace l'hypothèse par , alors au voisinage de 1 on a l'équivalence : .

III.C - Application 1:

III.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière
III.C.2) Déterminer un équivalent simple en 1 de sa somme.

III.D - Application 2 :

On considère les séries entières
ùé
III.D.1) Vérifier que leur rayon de convergence est 1 et montrer que
III.D.2) En déduire un équivalent au voisinage de 1 de
On pourra utiliser II.D.3.

III.E - Application 3 :

On pose pour ,
III.E.1) Développer en série entière, au voisinage de 0 , la fonction . avec et préciser son rayon de convergence.
III.E.2) Montrer pour tout la relation
avec les intégrales étudiées en partie I et une suite que l'on explicitera.
III.E.3) Montrer qu'il existe une constante réelle tel qu'au voisinage de 1 on ait l'équivalence : et préciser la valeur de .

Partie IV -

On considère deux séries entières et . On fait les hypothèses
suivantes : suivantes :
  • La suite est à termes positifs non tous nuls.
  • , où l'on a posé
  • Le rayon de convergence de la série est égal à 1 et la série diverge.
On note et les sommes respectives de ces deux séries entières sur leur intervalle ouvert de convergence.
IV.A - Vérifier l'égalité, pour tout réel
et en déduire que le rayon de convergence de
éà
IV.B - Établir les relations, pour tout
puis en déduire qu'au voisinage de 1 , on a : .

IV.C - Application 1:

On considère la série entière , où est un entier supérieur ou égal à 2 . Vérifier que son rayon de convergence est 1 et montrer qu'au voisinage de 1 , on a l'équivalence , où est une constante réelle que l'on précisera.

IV.D - Application 2 :

IV.D.1) Montrer que les séries entières et sont de rayons de convergence 1 et que l'on a, au voisinage de 1 ,l'équivalence :
IV.D.2) En déduire que l'on a, au voisinage de 1 , l'équivalence :
où est la suite étudiée dans la première partie.
IV.D.3) Montrer que pour , on a l'égalité :
IV.D.4) Calculer l'intégrale ci-dessus et en déduire qu'au voisinage de 1 , on a l'équivalence :
où est une constante réelle strictement positive que l'on précisera.
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