Centrale Mathématiques 1 TSI 2006

L'épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes.

Dans cette partie, est un réel fixé dans l'intervalle 10, 2].
On désigne par l'intervalle ]-1/2, [ et par cet intervalle privé de 0 .
Pour tout , on pose où désigne la partie entière de .

I.A.1) Rappeler, sans démonstration, ce que sont :

Le but de cette partie est d'étudier, suivant les valeurs de , la fonction définie sur IR par

Pour entier, avec , on notera

I.A.3) Montrer que est de période . Déterminer un majorant de la fonction .

I.A.4) Montrer que, pour tout , on a :

I.A.5) Soit et deux réels. On pose où désigne le nombre complexe usuel tel que .
a) Montrer que (on pourra utiliser l'expression de comme somme d'une série entière).
b) En considérant la partie réelle de , montrer que

I.A.6) Montrer que, pour tout et tout , on a :

(on pourra utiliser la question précédente et l'inégalité , que l'on justifiera).
Lorsque , trouver une constante telle que, pour tout , on ait

Lorsque , trouver une constante telle que, pour tout , on ait

I.A.7) Montrer qu'il existe une constante telle que, pour tous et (on pourra utiliser l'inégalité , vraie pour tous réels et ).

On considère maintenant la fonction définie pour réel par :

I.B - On prend .
I.B.1) Montrer que est définie sur . Déterminer un majorant de la fonction .
I.B.2) Pour fixé dans et , on pose

Montrer que tend vers 0 quand tend vers 0 (on pourra utiliser I.A. 6 et I.A.7).
I.B.3) En déduire que est dérivable sur , et que . Par la suite, on admet que est continue sur .
I.B.4)
a) Calculer les coefficients et de la série de Fourier de la fonction . On admettra que

b) Pour un réel fixé, écrire la somme de Fourier de de rang et montrer qu'elle coïncide avec une somme partielle de la série numérique qui définit .
c) Les propriétés de permettent-elles de prévoir que est la limite, quand tend vers , des sommes de Fourier de de rang ?
I.B.5)
a) Utiliser I.B. 4 pour calculer en fonction de .
b) Montrer que

I.C - On prend .
I.C.1) Trouver la valeur exacte de et de pour et .
I.C.2) On pose

a) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de pour

b) En revenant à la définition de , donner une majoration de .
c) En déduire que est strictement négative sur .
I.C.3) Montrer que l'équation admet une solution unique sur .
I.D - On prend . On veut montrer que n'est pas dérivable en 0 . Soit .
I.D.1) Vérifier, que pour tout , on a .
I.D.2) Montrer qu'il existe une constante telle que .
I.D.3) Vérifier que .
I.D.4) En déduire que tend vers lorsque .

Soit un polynôme du second degré en , défini par , à coefficients réels tels que . On définit une fonction de dans par .
II.A.1) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de . Montrer qu'elles s'annulent aux mêmes points que celles de .
II.A.2) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de . Comparer ces dérivées partielles d'ordre 2 de en un point où les dérivées partielles d'ordre 1 de sont nulles.
II.A.3) Utiliser le développement de Taylor-Young pour montrer que les extremums locaux de sont situés aux mêmes points et sont de même nature que ceux de .

Soit et deux polynômes du second degré en , définis par et .
On définit deux fonctions et de dans par et .
II.B.1) admet-elle des extremums ? Si oui, quelle en est la nature ?
II.B.2) Même question pour .
II.B.3) Montrer que, sur la droite les fonctions et prennent des valeurs égales en deux points que l'on déterminera.
II.C - On considère la transformation du plan définie par

II.C.1) Montrer que admet un point fixe en ( 1,2 ), c'est-à-dire que

II.C.2) Donner l'équation du plan tangent à la surface d'équation au point . Même question pour .
II.C.3) Déterminer la matrice jacobienne de la transformation en (1,2). Cette matrice est-elle diagonalisable dans ?