Centrale Mathématiques 1 TSI 2009

On considère la fonction d'une variable réelle .
I.A -
I.A.1) Déterminer avec soin l'ensemble de définition de .
I.A.2) Étudier les variations de sur cet ensemble.
I.A.3) Après avoir minoré sur l'intervalle ] - 1,0 ], déterminer la limite de lorsque tend vers -1 par valeurs supérieures.
I.A.4) Étudier la branche infinie au voisinage de de la courbe représentant .
I.B - Soient et, pour tout entier relatif tel que , les réels .
I.B.1) Pour tout , on pose : .

Montrer que est une approximation de , en indiquant le principe de cette approximation (méthode des trapèzes). Il n'est pas demandé d'établir une majoration de l'erreur commise.
I.B.2) Établir une formule donnant, selon le même procédé, une approximation de lorsque . On notera encore cette approximation.
I.B.3) Les entiers et strictement positif étant préalablement fixés, écrire en utilisant la syntaxe de Maple ou de Mathematica une suite d'instructions calculant les pour .
Les instructions écrites devront minimiser le temps de calcul (en évitant les calculs répétés).
I.B.4) Lorsque et , calculer effectivement les et construire la représentation graphique de sur . On admettra que les approximations résultant de ce choix de sont suffisamment précises sur cet intervalle.
I.C -
I.C.1) Montrer qu'il existe une suite réelle telle que, pour tout :
.
I.C.2) Calculer ce développement limité pour .
I.C.3) Pour , exprimer en fonction de sous forme d'une somme.
I.C.4) Établir, pour tout , une expression de en fonction de et .
I.C.5) Écrire, en utilisant la syntaxe de Maple ou de Mathematica, une suite d'instructions calculant, à partir d'une valeur entière donnée, la partie régulière du développement limité d'ordre de en 0 .

Les instructions devront calculer ce développement à l'aide des résultats obtenus ci-dessus sur les , sans recourir aux fonctions prédéfinies du logiciel concernant la dérivation ou les développements limités et en optimisant le temps de calcul.

On considère l'équation différentielle :

On note la solution de cette équation sur l'intervalle vérifiant .
II.A -
II.A.1) Justifier a priori (c'est-à-dire sans calcul) l'existence et l'unicité de .
II.A.2) Calculer explicitement .
II.B - Pour montrer que est développable en série entière au voisinage de 0 , on suppose d'abord qu'il existe une suite réelle et un intervalle ouvert contenant 0 , tels que :

II.B.1) Montrer, à l'aide de l'équation différentielle , que la suite vérifie nécessairement, pour , une relation de récurrence entre , et que l'on explicitera, et préciser les valeurs numériques de et .
II.B.2) Montrer que cette relation et les valeurs de et définissent une unique suite et que cette suite est bornée.
II.B.3) En déduire que est bien développable en série entière au voisinage de 0 .
II.B.4) Montrer que pour , la série est divergente et en déduire le rayon de convergence de cette série entière.
II.C - À partir de la suite définie au II.B.2), on pose pour tout :

II.C.1) Établir une relation entre et , puis calculer, pour tout en fonction de .
II.C.2) En déduire, sous forme d'une somme, une expression de en fonction de , pour tout .
II.C.3) Si la suite est celle définie au I.C.1), démontrer la relation :

II.D - On note l'ensemble des suites réelles telles que :

II.D.1) Écrire selon la syntaxe de Maple ou de Mathematica une fonction ou une procédure calculant, à partir de , la valeur de lorsque et sont donnés.
II.D.2) Montrer que , muni des opérations usuelles sur les suites réelles, forme un espace vectoriel réel.
II.D.3) À l'aide de l'application de vers définie par : , démontrer que est un plan vectoriel.
II.D.4) Déterminer l'ensemble des suites géométriques contenues dans .
II.D.5) En utilisant la suite définie au II.B.2), déterminer une base de et en déduire, pour toute suite appartenant à , une expression de en fonction de et .

On considère l'équation différentielle suivante :

III.A - Solutions polynomiales
III.A.1) Montrer que, si l'équation ( ) admet une solution polynomiale non nulle, celle-ci est de degré 1 .
III.A.2) Déterminer toutes les solutions polynomiales de ( ).
III.B - Résolution de l'équation différentielle
III.B.1) À l'aide d'une des solutions trouvées au III.A.2), montrer que la résolution de sur se ramène à la résolution de l'équation différentielle étudiée dans la partie II.
III.B.2) En déduire, à l'aide de la fonction de la partie I , une expression de la solution générale de ( ) sur chacun des intervalles et .
III.B.3) Déterminer toutes les solutions de l'équation sur l'intervalle . L'équation ( ) admet-elle des solutions sur et, si oui, lesquelles?
III.C - Solutions sur l'intervalle ] - [
III.C.1) Quel est, selon les valeurs de , le nombre des solutions de ( ) sur l'intervalle] [ vérifiant : ?
III.C.2) Établir que, pour tout , il existe une et une seule solution de sur vérifiant les conditions suivantes : et .
FIN •••