Dans ce problème, on s'intéresse aux fonctions vérifiant le système de conditions suivant :

où est une fonction décroissante sur , intervalle de contenant , vérifiant la condition . Dans la première partie, on montre l'existence et l'unicité de vérifiant le système (1). Dans les deux parties suivantes, on étudie des exemples.

Soient et deux solutions du système (1).
I.A.1) Soit .
a) Montrer que :

b) Montrer que :

I.A.2) En déduire, par un passage à la limite, que sur .

I.B.1) Soit .

Montrer que la série converge.
I.B.2) On pose, pour dans .
a) Vérifier que :

b) Montrer que :

c) En déduire que et conclure.

On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour dans le sous-espace vectoriel de des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .
Un polynôme sera noté indifféremment ou .

Soit l'application définie sur par

où désigne .
II.A.1) Montrer que réalise un endomorphisme de .
II.A.2) Vérifier que conserve le degré, c'est-à-dire vérifie, pour tout .
II.A.3) En déduire que est injective.
II.A.4) Montrer que la restriction de à induit un endomorphisme de noté .
II.A.5) Montrer que est bijectif.
II.A.6) En déduire que, pour tout dans , il existe un unique polynôme dans tel que :

II.A.7) Montrer que, si la fonction est de la forme où est dans , la solution du système (1) est de la forme où vérifie .

Jusqu'à la fin de cette partie, on s'intéresse à l'unique polynôme tel que :

c'est-à-dire tel que (où ).
II.B.1) Soit dans
a) Montrer que :

b) Exprimer en fonction de pour .
II.B.2) En déduire, en utilisant la formule de Taylor, que :

II.B.3) Montrer que :

II.B.4) Écrire un algorithme en français permettant de calculer et étant donnés par l'opérateur. Pour cet algorithme, on suppose l'existence d'une fonction binomial telle que binomial renvoie la valeur .

Jusqu'à la fin de ce problème on prendra et .

Soit la fonction définie par

avec la convention .
III.A.1) Montrer que est bien définie sur .
III.A.2) Montrer que :

III.A.3) Montrer que :

III.A.4) En déduire que la solution du système (1) est la fonction définie par :

III.B.1) Montrer que :

III.B.2) Montrer que :

III.B.3) Montrer que :

III.B.4) Soit dans et soit dans .
a) Montrer que :

b) En déduire un algorithme de calcul de à près, et étant donnés par l'opérateur.
c) Donner à près.
III.B.5) Montrer, sans dérivation, que la fonction est décroissante sur .
III.B.6) En déduire que :

III.B.7) Donner, en le justifiant, un équivalent simple de au voisinage de .

En déduire un équivalent de

III.B.8) La série de terme général est-elle convergente ?

III.C.1) En utilisant l'expression intégrale de , montrer que est continue sur .
III.C.2) En déduire, à l'aide des conditions (1), la limite de quand tend vers -1 à droite ainsi qu'un équivalent de au voisinage de -1 à droite.

a) Montrer que, pour tout dans et pour tout dans , la fonction est intégrable sur .
b) Soit dans , on pose .

Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite et calculer pour dans .
III.C.4) On pose, pour dans et dans ,

a) Montrer que, pour tout dans est intégrable sur .
b) Montrer que est de classe sur et que

a) Montrer que .
b) En déduire que :

a) Soit la fonction définie sur -périodique et paire vérifiant :

Montrer que est développable en série de Fourier sur et déterminer les coefficients de Fourier réels de .
b) En déduire que :

c) Calculer et donner l'équation de la tangente à l'origine pour la courbe représentant .
III.C.7) Donner l'allure de la courbe représentant dans un repère orthonormé.

a) Montrer que :

b) En déduire que la série entière admet un rayon de convergence strictement positif et le déterminer.