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Centrale Mathématiques 1 TSI 2013

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Centrale
Année
2013
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2013TSI MathsMaths 2013
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Soit un entier naturel non nul. Le but de ce problème est d'étudier les solutions définies sur , à valeurs réelles ou complexes, de l'équation différentielle d'ordre
L'exposant entre parenthèses indique un ordre de dérivation ; par exemple, pour on obtient l'équation différentielle .
Les solutions de sont, par définition, les fonctions qui sont fois dérivables sur et qui vérifient : .
On notera l'ensemble des solutions de , à valeurs complexes tandis que désigne l'ensemble des solutions à valeurs réelles.
On dira qu'une fonction est développable en série entière sur s'il existe une série entière de rayon de convergence infini telle que coïncide, sur , avec la somme de cette série entière.

I Cas et méthode d'Euler

I.A - La méthode d'Euler

Pour cette sous-partie I.A on considère une application telle que le problème de Cauchy
admet une unique solution que l'on va chercher à approximer sur . Soit un entier naturel non nul et fixé jusqu'à la question I.C.3. On pose , pour tout ,
La méthode d'Euler, que nous allons étudier, consiste à construire une approximation de , affine par morceaux sur et valant au temps .
I.A.1) Rappeler brièvement l'idée menant à la définition (I.1).
I.A.2) En supposant connue, écrire une procédure Maple ou Mathématica qui à associe les éléments de la suite .

I.B - Préliminaires au I.C

Désormais nous allons nous concentrer sur un problème de Cauchy associé à
Nous allons vérifier que la suite des approximations donnée par la méthode d'Euler converge, dans un sens à préciser, vers la solution de sur .
I.B.1) Justifier sans calculs que a une unique solution définie sur , puis calculer explicitement cette solution .
I.B.2) La notation désignant la partie entière entière d'un réel , prouver que

I. Mise en œuvre de la méthode d'Euler pour

On souhaite approximer la solution du problème de Cauchy par la méthode d'Euler. On définit donc et, pour tout ,
I.C.1) Expliquer rapidement le lien entre la définition ci-dessus et la démarche du I.A.
I.C.2) Exprimer simplement en fonction de et pour tout .
I.C.3) On définit l'application suivante
  • pour tout ;
  • pour tout est une fonction polynôme de degré au plus 1 sur l'intervalle .
    a) Dans un repère tel que l'axe des décrit , celui des décrit , dessiner les graphes de la solution de et des fonctions .
    b) Prouver que pour tout on a
c) En déduire que pour tout
I.C.4) Prouver que
où désigne la solution de : on dit que la suite des approximations converge simplement vers la solution réelle du problème.

I.D - Étude d'un cas particulier avec second membre

Dans cette partie seulement, on travaille avec un second membre non nul.
I.D.1) Déterminer l'unique solution du système
I.D.2) Montrer que est développable en série entière sur et calculer les coefficients de ce développement en fonction des .
I.D.3) Tracer rapidement la représentation graphique de sur .
I.D.4) Montrer que est convergente et calculer , en détaillant les calculs.

II Généralités

II.A - Quelques propriétés qualitatives des solutions de

Ici est un entier quelconque.
II.A.1) Si , donner les solutions réelles, puis complexes de .
On rappelle que, dans le cas général, il n'existe pas de méthode au programme permettant de résoudre simplement l'équation ; l'utilisation de l'équation caractéristique associée est, en particulier, à proscrire.
II.A.2) Montrer que toute solution de est de classe sur .
II.A.3) Montrer que si est solution de alors est solution de .
II.A.4) La connaissance de implique celle de
Prouver que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
  • est dans ;
  • est la partie réelle d'une fonction .

II.B - Structure de l'ensemble des solutions

II.B.1) Prouver que , muni des lois usuelles sur les applications, a une structure de -espace vectoriel.
II.B.2) Soit une application . On pose pour tout de ,
définissant ainsi une application qui est de dans l'ensemble des matrices colonnes réelles d'ordre , ensemble identifié à .
Montrer que l'on a si et seulement si est solution d'un système différentiel
où est une matrice carrée d'ordre , dont on explicitera les coefficients.
II.B.3) Montrer que l'application
est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
En déduire que est un -espace vectoriel de dimension pour . On admettra qu'il en va de même pour .

III Les cas et

III.A - Le cas méthode de la variation de la constante
Dans cette partie, on fixe de sorte que l'on étudie .
III.A.1) Montrer que la fonction exponentielle est une solution de sur .
III.A.2) Pour toute fonction de classe on note qui est aussi de classe . Prouver que est équivalente à .
III.A.3) Donner les solutions à valeurs complexes, puis réelles de .
On pourra poser .
III.A.4) En déduire les solutions à valeurs complexes, puis réelles de .
Existe-t-il une solution réelle, -périodique et non nulle?

III.B - Le cas : recherche de séries entières solutions

Dans cette partie, on fixe de sorte que l'on étudie . Pour tout on définit
III.B.1) Déterminer le domaine de définition de ces séries entières et reconnaître, en justifiant, les dérivées , et .
III.B.2) On pose, pour tout .
a) Montrer que : impair .
b) En déduire que est non nul si et seulement si est un multiple de 4 .
c) Prouver que pour tout :
d) Donner des expressions analogues pour et .
III.B.3) Soit une solution développable en série entière sur , de développement noté
Donner une relation de récurrence reliant et pour tout et en déduire que
puis qu'il existe tel que
III.B.4) Montrer, à l'aide de la question II.B.3, que (ch, sh, cos, sin) est une base de puis en déduire la forme générale des éléments de et de .
III.B.5) Montrer que les solutions de sont développables en série entière sur . Donner le développement en série entière de la solution de vérifiant

IV Retour au cas général

Ici, est un entier quelconque. On étudie donc l'équation .

IV.A - Expression des solutions dans le cas général

IV.A.1) Pour tout , on pose et
Prouver que: .
IV.A.2) Prouver que la famille d'applications est libre.
IV.A.3) Donner une base de l'espace vectoriel , en déduire la forme générale des éléments de .
IV.A.4) Justifier que toutes les solutions de sont développables en série entière sur .

IV.B - Étude des solutions 2-périodiques de

On étudie ici la possibilité de solutions -périodiques, à valeurs réelles pour . Soit une telle solution de .
IV.B.1) Soit . On notera par et les coefficients de Fourier usuels d'une fonction , -périodique, avec la convention .
Prouver, pour tout entier naturel , les relations
IV.B.2) On pose et
Prouver que pour tout , en déduire que tous les sont nuls dans le cas où est impair.
IV.B.3) Rappeler le théorème de Dirichlet (hypothèses, conclusion).
L'utiliser pour prouver l'assertion : si est impair alors l'unique solution -périodique à valeurs réelles de est la fonction nulle.
Que dire si est pair?
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