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Centrale Mathématiques 1 TSI 2018

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesRéduction
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2018
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TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2018TSI MathsMaths 2018
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Mécanique du solide indéformable

Ce sujet aborde l'étude de quelques outils mathématiques utilisés en dynamique pour modéliser l'ensemble des caractéristiques inertielles d'un solide indéformable constitué d'un nombre fini de points matériels.
Rappels et notations
On note la base canonique de et le repère ( ).
L'espace est muni de son produit scalaire canonique noté et on note la norme associée à ce produit scalaire. Ainsi est muni d'une structure d'espace euclidien orienté par la base .
On rappelle l'inégalité de Cauchy-Schwarz
Si est un sous-espace vectoriel de , on note l'ensemble des vecteurs de orthogonaux à tous les vecteurs de , à savoir
On dit que deux plans vectoriels et sont perpendiculaires si et seulement si .
On rappelle qu'un sous-espace vectoriel de est stable par un endomorphisme de si pour tout de , son image appartient à .

I Préliminaires

Soit un vecteur non nul. On note la droite vectorielle dirigée par et le plan vectoriel orthogonal à .

I.A - Endomorphisme associé à un produit vectoriel

Q 1. Montrer que l'application donnée par pour tout est un endomorphisme non nul de .
Q 2. Déterminer le noyau et l'image de .
Q 3. Soit un réel donné non nul, résoudre l'équation d'inconnue .
Q 4. En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable?
Q 5. Calculer la matrice de dans la base .
Q 6. Montrer que est stable par .
Q 7. On note l'endomorphisme induit par sur . Montrer que l'endomorphisme est une isométrie vectorielle du plan dont on donnera les caractéristiques géométriques. On pourra orienter le plan par le choix d'une base orthonormée ( ) telle ( ) soit une base orthonormée directe de .
Q 8. Montrer que et donner la matrice de dans la base ( ).

I.B - Cas particulier d'opérateur d'inertie pour un solide ponctuel

On définit la matrice par la relation . Soit l'endomorphisme de canoniquement associé à .
Q 9. En examinant la matrice , justifier sans calcul qu'il existe une base orthonormée constituée de vecteurs propres de .
Q 10. Montrer que pour tout , on a la relation : .
Q 11. En déduire que, pour tout , où est la projection orthogonale sur le plan .
Q 12. En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres de .

I. - Distance d'un point à un axe

Dans cette sous-partie I.C, on suppose que ; on rappelle que .
On considère l'application définie par pour tout .
Q 13. Démontrer que, pour tout de puis déterminer les vecteurs tels que .
Q 14. Montrer que pour tout point .

I.D - Distance d'une surface à une droite

Dans cette sous-partie I.D, on suppose que et on considère la surface d'équation cartésienne, dans le repère .
Q 15. Si , montrer que tous les points de coordonnées ( ) dans le repère appartiennent à . Réciproquement, vérifier que, si un point appartient à , alors ses coordonnées dans peuvent s'écrire sous cette forme.
On pose .
Q 16. Montrer que la fonction est minorée sur .
Q 17. Montrer qu'il existe un unique point tel que pour tout . Déterminer les coordonnées de dans .
Q 18. Montrer que le point est un point régulier de la surface et donner l'équation du plan tangent à en . Démontrer que est contenu dans la portion d'espace définie par .

II Droites et plans stables par un endomorphisme de

II.A - Une remarque sur le polynôme caractéristique

Q 19. En s'appuyant sur le théorème des valeurs intermédiaires, démontrer qu'un polynôme de degré 3 à coefficients réels admet au moins une racine dans .

II.B - Cas d'un endomorphisme de

Dans cette sous-partie II.B, désigne un endomorphisme de .
Q 20. Montrer que admet au moins une valeur propre réelle.
Q 21. Démontrer qu'une droite vectorielle est stable par si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre de . En déduire que admet au moins une droite stable.
Q 22. Démontrer que l'intersection de deux plans vectoriels distincts, stables par , est une droite engendrée par un vecteur propre de .

II.C - Cas d'une isométrie vectorielle de

Dans cette sous-partie II.C, désigne une isométrie vectorielle de .
Q 23. Soit un sous-espace vectoriel de . Démontrer que si est stable par alors est stable par .
Q 24. Démontrer que si est un plan vectoriel stable par , alors la droite vectorielle orthogonale à est engendrée par un vecteur propre de .
Q 25. Donner la liste des sous-espaces propres de dans les cas suivants :
i. est une réflexion par rapport à un plan vectoriel ;
ii. est une rotation d'axe et d'angle orienté par valant . On prendra soin de considérer à part le cas où où .

II.D - Endomorphismes qui commutent et stabilisation de sous-espaces

Q 26. On considère deux endomorphismes et de vérifiant . Démontrer que tout sous-espace propre de est stable par .
Q 27. Soient deux rotations vectorielles distinctes de l'identité. Montrer que si elles commutent, alors leurs axes sont confondus ou orthogonaux.

III Matrice d'inertie d'un solide indéformable

Soit .
On considère un système constitué d'objets ponctuels placés dans et munis de masses respectives toutes strictement positives. Ces objets sont reliés entre eux par des tiges rigides de masses négligeables.
Le système mécanique modélise un solide indéformable discret.

III.A - Définitions

On considère un système mécanique .
Soit un point de . On appelle opérateur d'inertie de au point l'endomorphisme de donné par
On appelle centre d'inertie de , noté , l'unique point de vérifiant .
Si est une droite affine, on appelle moment d'inertie de par rapport à le réel .
On appelle moment principal d'inertie de , toute valeur propre de l'opérateur et droite principale d'inertie de , toute droite vectorielle engendrée par un vecteur propre de .

III.B - Un exemple de système mécanique

On se place dans le repère . On prend et .
Q 28. Représenter le système à l'aide d'un schéma.
Q 29. Calculer le centre d'inertie de et le moment d'inertie de par rapport à la droite passant par et dirigée par le vecteur .

III.C - Cas général : matrice d'inertie d'un système mécanique

Considérons un système mécanique et un point quelconque de .
Q 30. Montrer que pour tout .
Q 31. Soit une droite affine passant par le point et dirigée par le vecteur . Montrer que
Q 32. Montrer que la matrice de dans la base est symétrique et réelle, puis exprimer ses termes diagonaux en termes de moments d'inertie par rapport à des axes à préciser.
Q 33. Montrer que admet exactement trois droites stables si et seulement si ses trois valeurs propres sont distinctes.

IV Symétries mécaniques et directions principales d'inertie

IV.A - Définitions

Soit un système mécanique désigné par dont le centre d'inertie est noté .
Dans toute la suite du problème, on effectue un changement d'origine et on se place dans le repère d'origine .
On appelle symétrie mécanique de , toute isométrie vectorielle de telle qu'il existe une permutation de l'ensemble vérifiant, pour tout et .
Ceci signifie que, par l'isométrie vectorielle , chaque point de est transformé en un point appartenant également à et ayant la même masse que lui.
IV.B - Mise en évidence d'une symétrie mécanique sur le système du III.B Soit la réflexion dont la matrice dans la base canonique de est
Q 34. Montrer que est une symétrie mécanique du système décrit au III.B.

IV.C - Cas général : recherche des moments principaux et des directions principales en utilisant les symétries mécaniques du système

Q 35. Montrer que si est une symétrie mécanique de alors, pour tout ,
Q 36. En déduire que, si est une symétrie mécanique de , alors tout sous-espace propre de est stable par l'opérateur .
On dit qu'un plan vectoriel est un plan de symétrie de si la réflexion vectorielle par rapport à est une symétrie mécanique de .
Q 37. Montrer que tout plan de symétrie de est stable par et que toute droite vectorielle orthogonale à un plan de symétrie de est une droite principale d'inertie de .
Q 38. On suppose que possède deux plans de symétrie et qui sont perpendiculaires. Identifier un repère orthonormé dont les axes sont des droites principales d'inertie.
Q 39. On suppose que présente deux plans de symétrie non perpendiculaires. Montrer qu'au moins deux moments principaux d'inertie de sont égaux. On pourra utiliser le résultat de la question 33.

V Recherche du maximum d'énergie cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe

Dans la suite, on identifie et .
On suppose que le système mécanique peut être mis en rotation autour d'un axe fixe noté passant par son centre d'inertie et dirigé par un vecteur unitaire . Cette révolution autour de est faite à la vitesse angulaire constante notée .
À chaque instant, on pose pour tout , où désigne la matrice dans la base canonique de de la rotation d'axe dirigé par et d'angle . On admet que si les colonnes de sont désignées par , on a .
Définition. Soit un système mécanique dont le centre d'inertie est noté . On appelle énergie cinétique propre de dans le repère , le réel
Q 40. Montrer que puis que .
On suppose que ( ) est une base orthonormale directe de qui diagonalise et on désigne par la droite affine passant par dirigée par pour .
Q 41. Montrer que si , alors .
Q 42. Dans quelles situations l'énergie cinétique est-elle maximale pour une vitesse angulaire donnée ?
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