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Centrale Mathématiques 1 TSI 2020

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Algèbre linéaireSéries entières (et Fourier)Equations différentielles
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Centrale
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2020
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2020TSI MathsMaths 2020
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Traitement de signaux discrets

Le traitement des signaux est utilisé dans de nombreux domaines liés à l'analyse et à la synthèse de l'information. Un signal à temps discret, obtenu par exemple à partir de l'échantillonnage d'un signal à temps continu, est modélisé par une suite réelle . Dans ce modèle, le nombre réel , également noté , représente la valeur du signal au temps d'indice .
Ce problème comprend deux parties. La partie I est indépendante de la partie II. Dans la partie II, la souspartie II.D est indépendante des sous-parties qui la précèdent.

Notations

Dans tout le problème, désigne l'espace vectoriel réel des suites réelles indexées par et désigne l'application identité de .
On désigne par
  • l'opérateur de décalage, défini, pour tout et tout , par ;
  • l'opérateur de différence, défini, pour tout et tout , par ;
  • l'opérateur de sommation, défini, pour tout et tout , par .
On admet que les applications et sont des endomorphismes de . On note l'ensemble des endomorphismes de .
Pour tout , la notation désigne si et la composée pour tout .

I Discrétisation d'une équation différentielle

I.A - Opérateurs agissant sur les signaux à temps discret

Dans cette sous-partie, on étudie les opérateurs définis en introduction agissant sur les signaux à temps discrets.
Q 1. Dans le cas où pour tout , calculer et .
Pour toutes suites et , on rappelle que le produit de et de est défini par pour tout .
Q 2. Montrer que, pour toutes suites .
Q 3. Démontrer, pour toute suite et tout , l'égalité .

I.B - Discrétisation d'une équation différentielle

On présente ici les équations aux différences finies comme l'analogue discret des équations différentielles.

I.B.1) Étude d'une équation différentielle linéaire homogène

On considère l'équation différentielle sur
On admet que l'ensemble des solution de (I.1) est un sous-espace vectoriel de .
Q 4. Démontrer que est solution de (I.1) si, et seulement si, est solution de l'équation suivante, d'inconnue :
Q 5. Résoudre (I.2) et déterminer une base de l'espace vectoriel des solutions de (I.1).

I.B.2) Méthode de discrétisation de l'équation différentielle (I.1)

Soient un nombre réel strictement positif.
L'objectif de cette section est de construire une équation aux différences finies (I.3) associée à (I.1) sur .
Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On subdivise le segment en intervalles de même longueur .
Soit une solution de (I.1). Pour transposer à un signal à temps discret la relation , notamment valable pour , on décide de remplacer respectivement et par , et .
Le signal à temps discret vérifie alors l'équation aux différences finies
Q 6. Montrer qu'une suite est solution de (I.3) si, et seulement si, est solution de l'équation suivante, d'inconnue :
Q 7. Démontrer qu'une suite est solution de l'équation aux différences finies (I.4) si, et seulement si, pour tout .
Q 8. Montrer qu'il existe quatre réels et tels que, pour tout . On calculera les réels et en fonction de .
Q 9. En déduire que les solutions de (I.3) vérifient
où est une constante à déterminer en fonction de . On pourra utiliser le résultat de la question .

I.B.3) Comparaison des solutions de (I.3) à celles de (I.1)

Q 10. Démontrer qu'il existe une unique solution de (I.1) vérifiant et donner la valeur de cette solution.
On se propose de comparer avec une solution bien choisie de l'équation aux différences finies (I.3) associée à (I.1).
Q 11. On considère la solution de l'équation aux différences finies (I.3) vérifiant les conditions initiales et . Calculer et et en déduire que pour tout ,
On note dorénavant afin de souligner la dépendance de par rapport à . De manière analogue, on note le signal à temps discret défini à la question . Ainsi, pour tout ,
Soit , on note , où désigne la partie entière de pour tout .
Q 12. Démontrer la double inégalité, .
Q 13. Démontrer que et que .
Q 14. Justifier l'existence et déterminer la valeur de . Comparer cette valeur au résultat de la question Q 10.

II Traitement d'un signal par filtre linéaire récursif

Dans la chaine de traitement numérique d'un signal à temps discret par filtre numérique récursif, on effectue une successions d'opérations qui transforment un signal d'entrée en un signal de sortie . Un modèle mathématique de ce filtre est de la forme
où sont trois suites réelles telles que pour tout .
L'objet de cette partie est de présenter deux méthodes permettant de calculer le signal de sortie en fonction du signal d'entrée .

II.A - Propriétés générales des filtres linéaires récursifs

Q 15. Existence et unicité du signal de sortie. Montrer que la donnée de la suite détermine une unique suite vérifiant (II.1).
On note alors l'unique signal de sortie associé au signal d'entrée .
Q 16. Montrer que est un endomorphisme injectif de .
On note l'ensemble des suites telles que, pour tout ,
Q 17. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Q 18. Justifier que l'application est un isomorphisme et en déduire la dimension de .

II.B - Méthode algébrique de calcul du signal de sortie y pour un signal d'entrée donné

Dans toute cette sous-partie II.B, on suppose que l'on dispose d'une base ( ) de .
Si une suite réelle est désignée par une lettre minuscule, on note avec une lettre majuscule grasse, la suite vectorielle définie en posant, pour tout .
Q 19. Déterminer une suite de matrices à valeurs dans , telle que l'on ait l'équivalence
Q 20. Démontrer que, pour tout , la matrice est inversible.
Q 21. Justifier, pour tout , les égalités, et où et sont les suites vectorielles respectivement associées aux suites réelles et .
Q 22. Justifier que, pour tout , la famille est une base de .
Soit une suite vérifiant (II.1).
Q 23. Montrer qu'il existe trois suites réelles et telles que, pour tout ,
Q 24. Vérifier que, pour tout ,
On note la matrice dont les colonnes sont et .
Q 25. Exprimer, pour tout , les termes et à l'aide de la matrice et de .
Q 26. Déduire des questions qui précèdent une méthode pour calculer défini par le système (II.1).
II.C - Exemple de mise en œuvre de cette méthode algébrique pour un signal d'entrée de type rampe
Q 27. Montrer, pour tout et tout , l'égalité .
Q 28. Montrer que les suites et de définies, pour tout entier naturel , par et forment une base de l'ensemble des suites vérifiant, pour tout , .
Q 29. Résoudre, pour tout , le système suivant, d'inconnues :
Q 30. En déduire le signal de sortie vérifiant

II.D - Méthode analytique de calcul d'un signal de sortie

Soit , une suite modélisant un signal discret.
On note le rayon de convergence de la série entière . Si , on dit que admet une transformée en , notée , définie sur le domaine par
On admet que, si et sont deux suites telles que les séries entières et ont le même rayon de convergence strictement positif, alors, pour tout , la suite admet une transformée en Z égale à où et sont respectivement les transformées en Z des suites et .
Q 31. Montrer que si les transformées en et , de deux suites et sont égales, alors les deux suites et sont elles-mêmes égales.
Q 32. Montrer que .
Q 33. Calculer et la transformée en Z de dans le cas où pour tout .
II.E - Exemple de mise en œuvre de la méthode analytique pour un signal d'entrée exponentiel On se propose de déterminer le signal de sortie vérifiant
Dans les deux questions qui suivent, on suppose que et on note la transformée en Z de .
Q 34. Démontrer que, pour tout , la suite admet une transformée en Z , notée et définie par
Q 35. Déterminer et en déduire que
Q 36. Déterminer trois nombres réels et tels que,
Q 37. Si , calculer le développement en série entière en 0 de et donner son rayon de convergence.
Q 38. En déduire que pour tout tel que .
Q 39. Montrer que, pour tout tel que , la série numérique converge.
Q 40. En utilisant les questions à , déterminer l'expression générale de en fonction de .
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