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Centrale Mathématiques 1 TSI 2021

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
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Centrale
Année
2021
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2021TSI MathsMaths 2021
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Ce sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier problème est consacré au calcul de la valeur d'une série et à son utilisation pour modéliser une expérience aléatoire. Le second problème est consacré à l'utilisation des séries de Fourier pour résoudre, dans un cas particulier, l'équation de propagation de la chaleur dans un solide conducteur à une seule dimension. Cette équation a été étudiée par Joseph Fourier en 1802.

I Séries et probabilités

Notations et rappels

Si , on note le coefficient binomial parmi . On rappelle que, si et, si .

Objectifs

Dans la sous-partie I.A, on montre que, pour tout et pour tout , la série converge et que
Dans la sous-partie I.B, on utilise ce résultat pour étudier une expérience aléatoire.

I.A - Calcul de la somme d'une série

Dans les questions 1 et un entier naturel fixé.
Q1. Montrer que: lorsque tend vers .
Q 2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
Lorsqu'elle est définie, on note la valeur de la somme .
Q 3. Rappeler sans démonstration le domaine de définition de la fonction et, pour tout réel dans ce domaine, la valeur de .
Q 4. À l'aide d'un théorème de cours énoncé avec précision, justifier que, pour tout ,
Q 5. Montrer que, pour tout tel que , on a .
Q 6. En déduire que, pour tout et tout .
Q 7. Démontrer par récurrence que, pour tout et tout .

I.B - Étude d'une expérience aléatoire

On considère un dé équilibré comportant 1 face blanche et 5 faces noires. On réalise l'expérience aléatoire suivante.
  1. On lance le dé jusqu'à obtenir la face blanche. On note la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir la face blanche.
  2. Si prend une valeur entière positive non nulle lors de la première étape, on réalise alors une série de lancers du dé. On note la variable aléatoire égale au nombre de fois où la face blanche a été obtenue lors de cette seconde série de lancers.
Q 8. Reconnaitre la loi de la variable aléatoire .
Q 9. Calculer, en explicitant les calculs, l'espérance et la variance de .
Q 10. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , donner une expression de en fonction de qui ne fasse pas intervenir le symbole .
Q 11. Soit et . En distinguant les cas et , déterminer la probabilité conditionnelle .
Q 12. Démontrer que , puis que
Q 13. Vérifier que .
Q 14. Montrer que admet une espérance et calculer .
Q 15. Calculer .
Q 16. En déduire que admet une variance et calculer .

II Séries de Fourier et équation de la chaleur

Rappels

Si est une fonction continue par morceaux sur , périodique de période 2 , alors :
i) les coefficients de Fourier trigonométriques de et sont définis par
ii) la série converge ;
iii) si est continue et par morceau sur , alors la série de Fourier de converge en tout nombre réel et sa somme vaut .

II.A - Propriétés des coefficients de Fourier

Dans tout cette sous-partie, est une fonction de classe sur , périodique de période 2 . Sa dérivée est notée .
Q 17. Démontrer que :
  • si la fonction est paire, alors, pour tout entier naturel non nul, ;
  • si la fonction est impaire, alors, pour tout entier naturel .
Q 18. Démontrer que :
  • si la fonction est paire, alors sa dérivée est impaire ;
  • si la fonction est impaire, alors sa dérivée est paire.
Q 19. Démontrer que
Pour les deux dernières égalités, on pourra effectuer une intégration par parties.
Q 20. En déduire que les deux séries et sont convergentes.
Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que la fonction est périodique de période 2 , impaire et de classe sur . On note sa dérivée troisième.
Q 21. Exprimer les coefficients de Fourier trigonométriques de en fonction de ceux de .
Q 22. En déduire la nature de la série .
Q 23. Pour deux réels quelconques et , démontrer que .
Q 24. En déduire que, pour tout .
Q 25. Quelle est la nature de la série ?

II.B - Un problème de prolongement

On suppose dans cette sous-partie que est une fonction de classe sur vérifiant .
Q 26. Démontrer qu'il existe une unique fonction , impaire, périodique de période 2 , telle que
Q 27. Décrire l'enchainement des transformations géométriques qui permettent d'obtenir la courbe représentative de à partir de celle de .
Q 28. À l'aide d'arguments géométriques, justifier que la courbe représentative de la fonction admet des tangentes aux points d'abscisses 0,1 et -1 . Déterminer les coefficients directeurs de ces trois tangentes.
On admet pour la suite du problème que, si la fonction est de classe sur et vérifie
où désigne la dérivée seconde de , alors la fonction est de classe sur .

II.C - L'équation de la chaleur

On considère une barre rectiligne métallique de longueur 1 m . On suppose qu'au cours du temps la température de chacune de ses extrémités est maintenue à . On prend pour origine l'une des extrémités de la barre et on repère chaque point de la barre par son abscisse (en mètre). On note la température (en degrés Celsius) à l'instant au point de la barre d'abscisse . On suppose que la fonction est de classe sur .
On note . Pour , on note la température, à l'instant , au point de la barre d'abscisse . On admet que la fonction vérifie l'équation de la chaleur
Les conditions spécifiées dans l'énoncé imposent en plus les égalités suivantes:
On cherche à déterminer les fonctions solutions de l'équation (II.1) vérifiant de plus les conditions de régularité suivantes :
Q 29. Démontrer que
Q 30. Que peut-on en déduire pour les valeurs de et de ?
Q 31. Justifier que est prolongeable en une unique fonction impaire, périodique de période 2 et de classe sur .
On suppose que est une solution du problème et on fixe .
Q 32. Démontrer que la fonction est prolongeable en une unique fonction impaire, périodique de période 2 et de classe sur .
Q 33. Démontrer qu'il existe une suite telle que
Q 34. Exprimer à l'aide de la fonction .
Q 35. Justifier que la dérivée seconde de , notée , est égale à la somme de sa série de Fourier et écrire cette somme.
Pour , on note . On admet que, pour tout , la fonction est de classe sur , que la série converge et que
Q 36. En déduire que,
On admet que cette égalité entraine, pour tout et tout , l'égalité
Q 37. Donner l'ensemble des solutions, sur [ [, de l'équation différentielle .
Q 38. En déduire que la solution cherchée est définie par
Remarque. Il est possible, mais non demandé ici, de démontrer que cette fonction vérifie bien toutes les conditions imposées.
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