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Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2023

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSuites et séries de fonctions
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Banque
Centrale
Année
2023
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Centrale MP/MPICentrale 2023MP/MPI MathsMaths 2023
2025_08_29_4295b0cf5472cf6fda4eg

Notations

  • Dans tout le sujet, désigne un entier naturel non nul.
  • Étant donnés deux entiers naturels et , on note l'ensemble des entiers naturels tels que .
  • Pour deux suites de nombres réels et , la notation signifie qu'il existe une suite bornée telle que l'on ait
  • On pourra utiliser sans démonstration la formule suivante, qui précise la formule de Stirling lorsque tend vers :
Toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes.

I Résultats préliminaires

I.A - Calcul d'une intégrale classique

Rappelons que désigne un entier naturel non nul. On note

I.A.1)

Q 1. Montrer que
Q 2. Justifier l'existence de et donner la valeur exacte de .
Q 3. Montrer que
On pourra minorer par un polynôme de degré 1 .
Q 4. En déduire que, lorsque tend vers ,
Q 5. Établir la relation de récurrence .
Q 6. En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .

I.A.2)

Q 7. Justifier que
Q 8. Montrer que
Q 9. En déduire les valeurs de
Dans toute la suite, on posera pour tout réel

I.B - Comportement asymptotique de

Soit .
Q 10. En écrivant que pour tout , montrer que
Q 11. À l'aide de l'étude d'une fonction bien choisie, montrer que
Q 12. En déduire un équivalent simple de lorsque tend vers .

I.C - Une inégalité maximale

Dans cette sous-partie, est un entier naturel non nul et sont des variables aléatoires discrètes indépendantes sur un espace probabilisé ( ).
Pour tout , on note .
On va montrer la propriété
On admet que les différentes fonctions intervenant dans cette inégalité sont bien des variables aléatoires discrètes.
Pour simplifier, notons l'événement . Ainsi,
Dans le cas où , définissons de plus les événements
pour .
Q 13. Exprimer l'événement à l'aide des événements .
Q 14. Montrer que l'on a
Q 15. Justifier que pour tout , on a l'inclusion
Q 16. En déduire que
Q 17. Conclure.

II Étude d'une suite de fonctions

Pour tout et tout , on pose
De plus, on définit la fonction par les conditions
L'objectif de cette partie est de montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers la fonction , définie dans la partie I. Autrement dit, on souhaite montrer
L'usage d'une figure pour appréhender la problématique de cette partie sera vivement apprécié.

II.A -

Q 18. Comparer les réels et .
Q 19. Justifier l'existence du réel pour tout .
Q 20. Montrer que, pout tout , on a l'égalité
Q 21. Pour tout , montrer que est une application décroissante sur .
On pourra distinguer selon que est pair ou impair.
Dans la suite de cette partie, on fixe . La limite assure de l'existence d'un nombre tel que .
II.B - Dans cette sous-partie, on va montrer
On introduit pour cela l'ensemble
dont on peut vérifier que c'est un intervalle d'entiers.
Dans la suite de cette sous-partie, on suppose que et varient de sorte que .
Q 22. Montrer que l'on a
pour tendant vers l'infini.
On pourra utiliser la formule de Stirling rappelée en début d'énoncé.
Q 23. En déduire que, pour tendant vers , on a
Q 24. En déduire que
puis que
Q 25. Montrer qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout entier ,

II. C -

Q 26. Pour tout , montrer qu'il existe un entier naturel , tel que, pour tout ,
Q 27. Conclure que la suite converge vers 0 .

III Applications

Soit ( ) un espace probabilisé et une variable aléatoire discrète sur ( ) telle que et . On considère une suite de variables aléatoires discrètes sur , mutuellement indépendantes et de même loi que . On définit alors
On dit que est une marche aléatoire symétrique sur . On admettra que pour tout est une variable aléatoire discrète sur .

III.A - Théorème central limite

Soit un intervalle de et une suite de fonctions continues par morceaux sur qui converge uniformément sur vers une fonction également continue par morceaux sur .
Q 28. Si (respectivement ) est une suite de nombres réels appartenant à qui converge vers (respectivement ), montrer que
On pose, pour tout et .
Q 29. Montrer que, pour tout ,
où a été défini dans la partie II.
Considérons un couple ( ) de réels tel que , et notons
Q 30. Justifier que
Q 31. En déduire que l'on a
puis que
où les applications et ont été définies dans la partie I .

III.B - Critère de tension

Dans cette dernière sous-partie, on fixe .
Q 32. Montrer qu'il existe tel que l'on ait
Q 33. Pour et comme à la question précédente, on fixe et on choisit . Montrer qu'alors
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