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Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2024

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Polynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesAlgèbre linéaire
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Centrale
Année
2024
Filière
MP/MPI
Matière
Maths
Centrale MP/MPICentrale 2024MP/MPI MathsMaths 2024
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Notations

  • Dans tout le problème, désigne ou .
  • On note le -espace vectoriel des polynômes à coefficients dans .
  • Pour tout désigne le -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .
  • On note le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.

Objectifs du problème

Soit une fonction de dans . On dit qu'une fonction de dans est solution de l'équation ( ) sur si
Le but du problème est l'étude de l'équation ( ).
La partie I de ce problème étudie l'existence de solutions dans le cas où est polynomiale.
La partie II introduit la définition et établit quelques propriétés des fonctions entières.
La partie III définit les polynômes de Bernoulli et explicite une solution polynomiale à l'équation ( ), ainsi qu'une application analytique de ces polynômes.
La partie IV étend la résolution de ( ) au cas où est une fonction entière.

I Étude de l'opérateur différence finie

On considère l'application définie par :
Q1. Montrer que est un endomorphisme de .
Q 2. Soit . Déterminer le degré de en fonction de celui de .
Q 3. Montrer que, pour tout induit un endomorphisme sur .
On note l'endomorphisme de induit par .
Q 4. Déterminer et pour tout .
Q 5. En déduire et . Appliquer les résultats obtenus à l'étude de l'équation ( ) dans le cas où est une fonction polynomiale.
Q 6. On suppose (pour cette question seulement) que est la fonction . Déterminer une solution de ( ) dans , puis toutes les solutions polynomiales de l'équation ( ).
Q 7. Soit . Déterminer un polynôme annulateur de . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

II Fonctions entières

On note l'application de dans définie, pour tout , par .

II.A - Généralités

On note l'ensemble des fonctions développables en série entière de rayon de convergence infini.
Q 8. Justifier que si et , alors et .
Q 9. Soit dont on note le développement en série entière.
Montrer que, pour tout :

II.B - Une intégrale

Pour tout , on pose
Q 10. Vérifier que cette intégrale est bien définie pour tout .
Q 11. Montrer qu'il existe une fonction et une constante telles que, pour tout ,
Q 12. En déduire que pour tout et tout ,
Q 13. Montrer que et que, pour tout .

III Polynômes de Bernoulli

Pour tout et tout , on définit dans cette partie :

III.A - Lien avec l'équation ( )

Q 14. Montrer que, pour tout et tout ,
En déduire que est un polynôme unitaire de degré .
Q 15. Montrer que, pour tout .
Q 16. Montrer que, pour tout et tout ,
Q 17. En déduire l'expression d'une fonction polynomiale vérifiant l'équation ( ) sur lorsque est une fonction polynomiale.

III.B - Unicité

Q 18. Montrer que est l'unique suite de polynômes vérifiant
Q 19. Soit la suite de polynômes définie par: . Montrer que pour tout .

III.C - Une application analytique

Soit la fonction de dans telle que, pour tout ,
Soit de plus la fonction de dans telle que, pour tout ,
Q 20. Montrer que est de classe sur .
Q 21. Pour tout , calculer puis montrer que, pour tout ,
Pour tout , soit la fonction de dans telle que, pour tout .
Q 22. Montrer que, pour tout .

IV Solution entière de l'équation ( )

IV.A - Une inégalité de contrôle

On se propose dans cette partie de montrer par l'absurde la propriété :
On suppose que est fausse.
Q 23. Montrer l'existence d'une suite d'entiers naturels et d'une suite de nombres complexes telles que :
Pour tout , on note et .
Q 24. Montrer que et .
Q 25. Pour tout , on note
En étudiant , aboutir à une contradiction et conclure.

IV.B - Une solution à ( )

Pour tout , on définit maintenant
Pour tout et tout , soit
Q 26. Montrer que, pour tout .
Q 27. Montrer que
Q 28. Montrer qu'il existe deux constantes telles que, pour tout et tout ,
Q 29. En déduire l'existence d'une solution dans à l'équation lorsque .
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