Centrale Mathématiques 2 MP 2000

On se propose dans ce problème d'étudier une méthode de calcul approché des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.

Notations : On désigne par l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, par le sous-espace des matrices symétriques, par le groupe des matrices orthogonales d'ordre et par le groupe des matrices orthogonales directes (i.e. dont le déterminant vaut 1 ).
On désigne par diag la matrice diagonale d'ordre :

La notation signifie que la matrice de a pour coefficient en -ème ligne et -ème colonne. Dans ce cas, la transposée de sera notée et la trace de définie par .

Liens entre les parties du problème : La partie I sert dans tout le problème. La partie II traite d'un cas particulier que l'on aura intérêt à traiter soigneusement avant de poursuivre. La partie IV est indépendante de ce qui précède et sert dans V.D - .

I.A - Montrer que pour tout couple de matrices carrées ,

I.B - Montrer que l'application

est un produit scalaire; calculer en particulier . On note la norme associée à . Exprimer en fonction des ( ).
I.C - Montrer que pour toute matrice de , on a :

En déduire la norme de l'application (norme subordonnée à la norme ).
I.D - Soit un élément de . Montrer que pour toute matrice , . Prouver que si est une matrice symétrique, la matrice est elle-même symétrique et que l'on a, en notant ( ) les coefficients de :

Soient une matrice de , et une matrice de définies par:

On pose .
II.A - Calculer les termes de la matrice .
II.B - Montrer que

II.C - On suppose ici que . Montrer qu'il existe un réel appartenant à , et un seul, tel que (penser à distinguer deux cas).

Définir la fonction qui, à une matrice symétrique non diagonale de , associe le réel ainsi défini.
II.D - Montrer que pour ce choix de , la matrice est diagonale et que et sont les valeurs propres de .
II.E - On donne

Calculer puis la matrice . En déduire les éléments propres de .

On définit, pour réel, et entiers donnés (avec ), une matrice de en posant:

où et .
On considère une matrice de et .
III.A - Justifier que est symétrique et que

III.B.1) Soit . Exprimer, en fonction de et des coefficients de , les coefficients et lorsque est un élément de [ ] distinct de et de est quelconque dans .
III.B.2) Exprimer, en fonction des coefficients de et de les coefficients , puis pour tous deux différents de et de , ainsi que et .
III.B.3) Donner une relation simple entre les matrices.

En déduire que

III.B.4) On suppose que est non nul, montrer qu'il existe un réel appartenant à et un seul, tel que .

Soit un espace vectoriel normé, de dimension finie, dont la norme est notée .
IV.A - On se propose de montrer le résultat suivant: une suite de l'espace normé ( ) telle que :

est convergente.
On considère donc qui vérifie les propriétés (1), (2) et (3) et un entier strictement supérieur à 1 ; on note pour , les valeurs d'adhérence de .
IV.A.1) Montrer, en raisonnant par l'absurde, que :

où est la boule ouverte de centre et de rayon .
IV.A.2) En déduire, par un choix judicieux de , qu'il existe et un entier tels que : , et conclure.

Soit un élément de . On note ( ) ses valeurs propres, éventuellement répétées avec leur multiplicité.
On définit par récurrence une suite de matrices en posant , et où est construite de la façon suivante :
si est diagonale, est la matrice unité,
sinon la matrice est définie comme dans la partie III, en choisissant :
(1) deux entiers et tels que et
(2) , dans tel que .

On observera que et dépendent de et on pourra noter, si le besoin s'en fait sentir, et .
V.A - Donner une conséquence du choix de pour la matrice .
V.B - On pose avec et , la norme étant définie comme dans la partie I.
V.B.1) Montrer que .
V.B.2) Montrer, en utilisant la question III.B.3, que .
V.B.3) En déduire que

Que peut-on dire de la suite dans l'espace normé ( ) ?
V.C - On veut montrer que la suite des matrices diagonales admet un nombre fini de valeurs d'adhérence dans , qui sont toutes des matrices de la forme où la suite finie ( ) est obtenue par permutation des valeurs propres de . Pour cela considérons une suite extraite que nous noterons convergeant vers une matrice dans l'espace désigne une suite d'entiers naturels strictement croissante).
V.C.1) Montrer que la limite est une matrice diagonale.
V.C.2) Montrer que et ont le même polynôme caractéristique.
V.C.3) Conclure.

V.D.1) Montrer que la suite ( ) est bornée et que .
V.D.2) Montrer que les suites ( ) et ( ) convergent dans ( ) et dire en quoi l'algorithme ainsi défini permet d'obtenir une valeur approchée des valeurs propres de .

On donne ici

VI.A - Déterminer puis . Donner les valeurs rationnelles des coefficients .
VI.B - Calculer de la même façon et les coefficients de .
VI.C - Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de . Observation?