Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans le problème. Ce dernier ne commence qu'à partir du I.
Dans la démonstration en 1994 du «dernier théorème» de Fermat par Andrew Wiles, les «courbes elliptiques» jouent un rôle central par le biais de l'action du groupe sur le demi-plan ouvert .
En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps est en bijection (à un -isomorphisme près) avec l'ensemble des réseaux de (à une similitude près), lui même en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan sous l'action de . Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers ensembles que nous proposons d'étudier dans ce problème.

Soit l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans
l'anneau des entiers relatifs.
Dans les parties I, II, III, les lettres désignent des éléments de . On pose:

I.A - Démontrer que l'ensemble est un anneau.

I.B.1) Démontrer que l'ensemble des éléments de inversibles dans est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des unités de l'anneau .
I.B.2) Montrer que

I.C - On pose

I.C.1) Montrer que est un groupe pour la multiplication des matrices.
I.C.2) Déterminer l'ensemble des couples ( ) tels que la matrice appartienne à .
I.C.3) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) tels que la matrice appartienne à .
I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple (a,b) de pour qu'il existe une matrice

I.D - Soient et les éléments de définis par

Pour chacune des trois matrices et , répondre aux questions suivantes:
I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.
I.D.2) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.
I.E - On cherche les matrices de telles que

I.E.1) Soit une telle matrice. Montrer que est diagonalisable dans et préciser les formes réduites diagonales possibles de .
I.E.2) En déduire l'ensemble des matrices solutions .

On cherche les matrices de telles que

I.F.1) Soit une telle matrice. Montrer que est diagonalisable dans et calculer la trace de .
I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions en fonction des trois paramètres et d'une relation liant ces trois paramètres.

I.G.1) Démontrer que si deux matrices et de sont semblables en tant que matrices de , alors elles sont semblables dans .
I.G.2) En déduire que les matrices de solutions de l'équation :

On note le demi-plan ouvert défini par .
étant une base de considéré comme plan vectoriel réel, on appelle réseau engendré par l'ensemble .
Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre , sans préciser quelle base de l'engendre.

II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau ?
II.A.2) Démontrer que tout réseau peut être engendré par une base de telle que .
II.A.3) Démontrer que pour tout quadruplet et pour tout tel que , on a

II.B.1) Démontrer que si deux bases et de telles que

engendrent le même réseau , alors il existe une matrice

II.B.2) Étudier la réciproque.
II.C - On considère un réseau engendré par une base de telle que

Déterminer l'ensemble des couples tels que avec et soit une base de engendrant également le réseau .
II.D - Pour tout complexe on note le réseau engendré par la base de . On suppose que . Trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément vérifie .

Si est un réseau et un nombre complexe, on pose .
On dit que deux réseaux et sont semblables s'il existe tel que .

III.A.1) Démontrer que tout réseau est semblable à un réseau où .
III.A.2) Démontrer que deux réseaux et , où , sont semblables si et seulement si il existe une matrice

La fin de la partie III montre qu'il existe des similitudes directes de centre , autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné .
III.B - Soit un réseau.
III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l'ensemble et l'ensemble des similitudes directes de centre laissant stable le réseau , c'est-à-dire telles que .
III.B.2) Quel est l'ensemble des homothéties de centre laissant stable le réseau ? En déduire l'ensemble .
III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l'ensemble ?
III.B.4) étant une base de , on pose

III.B.5) Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre les ensembles et ?
III.C - étant un complexe de , on considère le réseau engendré par la base ( ) de .
III.C.1) On suppose que l'ensemble n'est pas réduit à . Montrer que est alors racine d'un polynôme du second degré à coefficients dans .
III.C.2) Réciproquement, on suppose que est racine non réelle d'un polynôme du second degré à coefficients dans .
a) Montrer que n'est pas contenu dans .
b) Que dire des ensembles et si ?

Dans cette dernière partie, on étudie l'action de ce groupe sur l'ensemble . On introduit au IV.D un sous-ensemble fondamental de . On montre aux questions IV.E et IV.F que est engendré par les homographies s et associées aux matrices et introduites au I.D et qu'un système de représentants des orbites de est constitué par les points de .

À toute matrice

de on associe l'application définie par : .

IV.A.1) Montrer que l'on a . On identifie dorénavant avec l'application de vers qu'elle induit. Lorsque la matrice parcourt , l'application correspondante de vers décrit un ensemble noté . Dans la suite de cette question on s'intéresse aux propriétés de la surjection

IV.A.2) Montrer que . En déduire que la loi o de composition des applications est une loi interne sur .
IV.A.3) Pour tout , montrer que est une bijection de sur et que l'on a . En déduire que ( ) est un groupe.
IV.A.4) Montrer que .
IV.A.5)
a) Résoudre l'équation .
b) En utilisant les matrices et définies en I.D, vérifier que le groupe ( , ० ) n'est pas commutatif.

IV.B.1) Montrer que le cercle de centre et de rayon a pour équation

À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans ?
IV.B.2) On appelle l'application de vers associée à la matrice

définie au I.D, c'est-à-dire l'élément de . Déterminer l'image par d'un cercle inclus dans .

IV.C.1) Trouver l'image par d'une droite incluse dans , c'est-à-dire d'une droite d'équation , avec .
IV.C.2) Trouver l'image par d'une demi-droite d'équation

IV.D - On introduit le sous-ensemble de , défini par

On appelle l'application de vers associée à la matrice

définie au I.D, c'est-à-dire l'élément de . Représenter graphiquement l'ensemble et ses images et par les applications et .
IV.E - On note le sous-groupe de engendré par l'ensemble . Soit un élément de .
IV.E.1) Montrer qu'il existe un élément tel que

IV.E.2) On pose alors . Démontrer qu'il existe un entier tel que

IV.E.3) Vérifier que et en conclure que .
IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l'on admettra ici : si et si pour un élément , avec , on a alors est un point frontière de , autrement dit on a

En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que . Indication : on pourra considérer un point intérieur à (c'est-à-dire ) et son image par .