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Centrale Mathématiques 2 MP 2008

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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2008
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MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2008MP MathsMaths 2008
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Épreuve: MATHÉMATIQUES II

Notations
  • Dans tout le problème est un entier supérieur à est l'ensemble des matrices carrées à lignes, à coefficients réels.
  • On note ( ) la base canonique de . Ainsi, pour tout couple ( ) d'entiers compris entre 1 et , tous les coefficients de la matrice sont nuls sauf le coefficient d'indices ( ) qui vaut 1 . On rappelle le résultat suivant :
où si et 0 sinon.
  • Pour tout couple ( ) d'entiers strictement positifs, on note l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes, à coefficients réels.
  • Pour toute matrice de , on note sa matrice transposée.
  • L'espace est identifié à l'espace . On note la base canonique de . Ainsi, pour tout entier compris entre 1 et où 1 est en è position.
    On munit de sa structure euclidienne canonique.
    Pour tout couple ( ) de vecteurs de et , on note leur produit scalaire.
  • Pour tout couple d'entiers tels que , on note :
  • Étant donné , on note la matrice diagonale telle que, pour tout de .
    On note la matrice de l'identité.
    Soit . On considère le système linéaire
où est donné, et est l'inconnue. L'objet du problème est l'étude de quelques méthodes de résolution de ce système linéaire. On rappelle que .

Partie I - Méthode de Gauss et factorisation

Le but de cette partie est de représenter matriciellement la méthode de Gauss pour la résolution du système (1).
On note l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (c'est-à-dire pour ) et l'ensemble des matrice triangulaires inférieures à diagonale unité (c'est-à-dire et pour ). Dans toute cette partie, on suppose que , de sorte que le système
(1) admette une unique solution .

I.A - Résolution d'un système triangulaire

On suppose dans cette question que .
I.A.1) Calculer puis pour exprimer en fonction de , . Écrire l'algorithme de résolution du système (1).
I.A.2) Exprimer en fonction de le nombre d'additions, de multiplications et de divisions nécessaires à la résolution du système (1).

I.B - Matrices d'élimination de Gauss

La matrice de est de nouveau quelconque avec .
Étant donné , on note pour tout entier de la sous-matrice de définie par élément de , et on note sont appelés les mineurs principaux de .
Par ailleurs, on note le è vecteur ligne de la matrice et défini par . On note aussi le è vecteur colonne de défini par . On dira aussi dans la suite les lignes de et les colonnes de .
I.B.1) Soient une matrice de et . Exprimer, pour tout entier de en fonction des lignes de la matrice .
(On pourra, si l'on veut, utiliser la décomposition de sous la forme avec .
I.B.2) Pour un entier de et un vecteur , on note la matrice de qui réalise par le produit à gauche les combinaisons linéaires de lignes suivantes, en notant pour simplifier et :
a) Montrer que .
b) Montrer que si on a :
c) Déterminer les coefficients de pour tout couple d'entiers de . Montrer que .
I.B.3)
a) Étant donnée une matrice de , exprimer les vecteurs colonnes du produit matriciel en fonction des colonnes de .
b) Soit un entier de et pour tout entier de un vecteur de . On considère la matrice produit
On note les vecteurs colonnes de la matrice et pour tout entier de , .
Montrer par récurrence sur que :
En déduire que appartient à et que .

I.C - Factorisation de

Dans cette question, on suppose que pour chaque est inversible. On note la matrice initiale.
I.C.1) Montrer que . Déterminer pour que la première colonne de soit proportionnelle à . Que vaut la première ligne de ?
I.C.2) On pose .
a) Montrer par récurrence sur l'existence des suites de matrices avec
et telles que :
Exprimer le vecteur à l'aide des coefficients de .
b) Montrer que les lignes 1 à de et sont identiques.
c) Pour , soit le nombre de multiplications nécessaires pour passer de à . Calculer le nombre .
I.C.3)
a) Déduire des questions précédentes qu'il existe une matrice de et une matrice de telles que l'on ait
b) Exprimer les coefficients de pour et les coefficients de pour en fonction des coefficients des matrices (Utiliser (I.B.2a) et (I.C.2a)).
I.C.4) Montrer que les matrices et de la factorisation (5) sont uniques.
I.C.5) Écrire dans le langage de son choix un programme réalisant la factorisation qui n'utilise qu'un seul tableau carré encore nommé pour contenir toutes les itérations . On prendra soin de commenter les principales lignes du programme. Comment aura-t-on en final les facteurs et à partir du tableau ?
I.C.6) Soit le nombre de multiplications nécessaires à la factorisation . Calculer (Indication : utiliser la question I.C.2.c.)

Partie II-Applications et cas particuliers

Dans cette partie, on applique à certains exemples la factorisation vue en Partie I. Par commodité d'écriture, lorsque l'on représente une matrice, les espaces laissés vides sont remplis de 0 qui ne sont pas systématiquement écrits.

II.A - Application à la résolution de systèmes linéaires

II.A.1) On veut résoudre le système (1) en utilisant la factorisation (5). On fait toujours l'hypothèse que pour tout entier de .
Sans compter les opérations nécessaires à la factorisation, montrer qu'il suffit de multiplications pour résoudre le système (préciser la méthode utilisée).
II.A.2) En déduire une méthode pour inverser la matrice en utilisant la factorisation (5). Exprimer le nombre total de multiplications et divisions nécessaires à cette inversion, incluant cette fois-ci le calcul de la factorisation. En donné un équivalent lorsque .

II.B - Étude du cas tridiagonal

On suppose la matrice tridiagonale, c'est-à-dire de la forme
II.B.1) On pose . On suppose que pour tout de . Calculer puis, pour , exprimer en fonction de et de .
II.B.2) Montrer que les matrices et de la factorisation (5) sont de la forme
avec pour tout de ,
II.B.3) Écrire un algorithme de résolution du système en utilisant la
factorisation précédente pour une matrice tridiagonale. Donner le nombre de multiplications, de divisions et d'additions nécessaires à cette résolution.

II.C - Étude d'un exemple

Soit , symétrique et tridiagonale définie par
tous les autres coefficients étant nuls, c'est-à-dire
II.C.1)
a) Montrer que pour chaque de , on a
b) En déduire que la matrice est définie positive.
c) Montrer que pour chaque de la matrice est symétrique et définie positive. En déduire qu'il existe une factorisation de la forme (5).
II.C.2) On reprend les notations de la question II.B. Expliciter et résoudre la récurrence sur . En déduire l'expression des matrices et .
II.C.3) On veut résoudre le système pour un entier fixé .
a) Résoudre le système .
b) Résoudre le système .
(On montrera que : si et si ).
II.C.4) On pose . Calculer pour .

Partie III - Une méthode itérative

III.A -

Soit une matrice inversible de . On étudie ici une méthode itérative de résolution du système (1). On utilise la norme euclidienne sur , définie , avec . On rappelle que la norme matricielle subordonnée de est définie par .
III.A.1)
a) Exprimer en fonction de et de . En déduire que est une matrice symétrique positive.
On note le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de énoncées de sorte que .
b) Montrer que .
c) On suppose que est symétrique et on note , où est l'ensemble des valeurs propres de . Montrer que l'on a .
III.A.2) On note une matrice de et un vecteur de tels que le système (1) peut se réécrire sous la forme
Soit . On considère la suite vectorielle itérée définie par la relation de récurrrence . Montrer que, si , la suite est convergente dans de limite , solution de l'équation (7).
III.A.3) Dans les questions qui suivent, on applique la méthode itérative ci-dessus au système où est définie en II.C par (6). On décompose en
a) Calculer les valeurs propres de (Indication : interpréter le système comme une équation récurrente sur la suite avec . (On constatera qu'il n'y a de solution non nulle que si ).
b) En déduire qu'il existe une suite de réels telle que
c) Donner un équivalent de quand tend vers l'infini.
III.A.4) On considère la décomposition (8). On choisit la donnée initiale de sorte que . On suppose en outre que .
a) On choisit . Expliciter le vecteur de manière à appliquer la méthode itérative puis donner l'expression complète de en fonction de , de et des matrices pour .
b) Majorer l'erreur en fonction de et .
c) Montrer que et donner un équivalent de pour tendant vers l'infini.
d) Déterminer un nombre d'itérations suffisant pour avoir . Donner un équivalent du nombre de multiplications pour obtenir cette approximation et comparer à la méthode de factorisation . Pour grand, quelle méthode est préférable?
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