Centrale Mathématiques 2 MP 2009

Les calculatrices sont autorisées
Notations
et sont des entiers naturels vérifiant .
et désignent les espaces vectoriels et munis de leur structure euclidienne canonique. On note l'application identité de . Le produit scalaire est noté (.|.) aussi bien dans que dans et la norme euclidienne est notée désigne l'ensemble des endomorphismes autoadjoints (ou symétriques) positifs de , le sous-ensemble constitué des endomorphismes autoadjoints définis positifs. On rappelle que, si , alors est un produit scalaire sur .

On se propose dans cette partie de montrer, en plus de quelques généralités, que si et sont des éléments de , alors est diagonalisable et son spectre est inclus dans .

I.A.1) Montrer qu'un endomorphisme symétrique de est dans (resp. ) si et seulement si son spectre est inclus dans (resp. ).
I.A.2) Montrer que si , alors .
I.A.3) Soit .
a) Montrer qu'il existe un élément de tel que .
b) En déduire que :

I.B - Preuve du résultat
et désignent des éléments de .
I.B.1) On note et les endomorphismes de induits par et respectivement.
a) Montrer que est un élément de .
b) Montrer que est autoadjoint positif relativement à où est le produit scalaire sur défini dans les notations.
I.B.2) Déduire de la question précédente que l'endomorphisme de induit par est diagonalisable et que son spectre est inclus dans .
I.B.3) Montrer, à l'aide de (1), que :

I.B.4) Conclure.
I.C - Cas particulier
a désigne un élément de et un élément de .
I.C.1)
a) Montrer qu'il existe un unique élément de tel que, pour tout couple de .
L'application est notée .
b) Montrer que : .
c) En déduire que si une suite d'éléments de est telle que la suite converge vers 0 , alors la suite converge vers 0 .
d) Montrer que :

I.C.2) Montrer que est un endomorphismes diagonalisable de et que son spectre est inclus dans .
On note sa plus grande valeur propre.
I.C.3) Montrer que :

Désormais a désigne un élément de est un élément fixé de et est un élément non nul de .
est l'application de dans définie par :

On considère un sous-espace vectoriel de et on s'intéresse à la minimisation de la restriction de à .
II.A.1) Montrer que si tend vers et , alors tend vers .
II.A.2) Déduire de la question précédente l'existence d'un minimum de la restriction de à .
II.A.3) Soit ( ) un élément de tel que .
a) Montrer que :

b) En déduire que la restriction de à atteint son minimum en un seul point.
II.A.4) Soit et .
a) Calculer .
b) En déduire que la restriction de à est minimale en si et seulement si

II.A.5) Ici et est l'élément de en lequel est minimale. Pour tout réel , on note la surface d'équation et on considère un plan vectoriel inclus dans auquel n'appartient pas.
a) Déterminer la nature de la surface et donner son centre.
b) Montrer qu'il existe une unique valeur de pour laquelle est tangent à la surface .
c) Déterminer cette valeur de si et sont d'équations respectives :
et relativement à la base canonique de .

Soit un réel positif et est l'application de dans définie par

On dit que ( ) est un point selle de si, pour tout couple ( ) dans , ou encore ( . et est minimale en ).
II.B.1) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

b) En déduire que la restriction de à est minimale en si et seulement si il existe un élément de tel que ( ) est un point selle de .
II.B.4) Soit ( ) un point selle de .
a) Montrer que ( ) est encore un point selle de si et seulement si est un élément de .
b) Montrer que, parmi les points selle de du type ( ), il en existe un et un seul pour lequel est minimale et le caractériser.

On reprend les notations de la partie précédente et on note l'élément de en lequel la restriction de à est minimale. On note également un élément de tel que ( ) est un point selle de .
désigne la plus grande valeur propre de est fixé dans et désigne une suite de réels à valeurs dans , où .
On considère la suite d'éléments de et la suite d'éléments de définies de la façon suivante :

III.A.1) On pose, pour tout de et .
a) Montrer que :

b) Montrer que :
.
c) En déduire la convergence de la suite puis celle de la suite vers .

III.B.1) On pose, pour tout entier où et, de même, où .
a) Montrer que la suite est constante.
b) Montrer que :

c) En déduire que la suite converge vers .

Désormais, on choisit et la suite constante égale à . Dans ces conditions, la suite converge vers point selle de avec minimale.
III.B.2) Montrer que :

III.B.3) On suppose que, relativement à la base canonique de , la matrice de est diagonale, soit avec et que celle de , relativement aux bases canoniques de et , admet pour coefficient générique

a) Montrer que est un endomorphisme autoadjoint de qui laisse stables et . On note l'endomorphisme induit sur .
b) Déterminer la norme de subordonnée à . .
c) est supposé fixé. Comment choisir pour que soit minimal ? Quelle est alors sa valeur?
d) Quelle est alors l'influence de sur la rapidité de convergence de la suite ? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de et et on se donne les matrices et de et par leur coefficient générique :

a) Montrer que est effectivement un endomorphisme de défini positif.
b) Écrire une procédure effectuant lorsqu'on choisit , le calcul de , matrice de relativement à la base canonique de (on supposera et définis numériquement mais on définira les matrices et ).