Centrale Mathématiques 2 MP 2011

Pour tout entier naturel non , on note:

Soit et ; on dit que est positive (respectivement définie positive) si :

L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté , et, pour tout entier naturel , le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à est noté .

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices réelles définies positives, à l'aide des déterminants de certaines matrices extraites.
La deuxième partie aborde l'étude d'une suite de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire défini à l'aide d'une intégrale.
La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont certaines propriétés sont étudiées dans la partie IV.

Soit et .
I.A.1) Montrer que est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.
I.A.2) Montrer que est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
I.B - Pour et , on note la matrice carrée d'ordre extraite de , constituée par les premières lignes et les premières colonnes de .
Le but de cette question est de démontrer l'équivalence suivante :

I.B.1) Soit . On suppose que est définie positive.

Pour tout , montrer que la matrice est définie positive et en déduire que .
Pour tout , on dira qu'une matrice de vérifie la propriété si pour tout .
I.B.2) Dans les cas particuliers et , montrer directement que toute matrice vérifiant la propriété est définie positive.
I.B.3) Soit . On suppose que toute matrice de vérifiant la propriété est définie positive. On considère une matrice de vérifiant la propriété et on suppose par l'absurde que n'est pas définie positive.
a) Montrer alors que admet deux vecteurs propres linéairement indépendants associés à des valeurs propres (non nécessairement distinctes) strictement négatives.
b) En déduire qu'il existe dont la dernière composante est nulle et tel que .
c) Conclure.
- Soit une matrice de . A-t-on l'équivalence suivante :

I.D - Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en entrée une matrice et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie «true» si la matrice est définie positive, et «false» dans le cas contraire.

On définit la suite de polynômes par :

De plus, on pose :

II.A - Montrer que l'application est un produit scalaire sur .
II. - On note le polynôme dérivé fois de .

Déterminer le degré de et calculer .
On définit la suite de polynômes par :

II. - Soit . Montrer que, pour tout .

Indication : on pourra intégrer par parties.

II.D.1) Pour tout , on pose .

Calculer, pour tout , la valeur de .
II.D.2) En déduire pour tout la relation : .
II.E - Déterminer une famille de polynômes vérifiant les deux conditions suivantes :
i. pour tout , le degré de vaut et son coefficient dominant est strictement positif;
ii. pour tout est une base orthonormale de pour le produit scalaire . Justifier l'unicité d'une telle famille.
II.F - Calculer et .

Pour tout , on définit la matrice par :

où désigne le coefficient de place de la matrice .
On note de plus .

III.A.1) Calculer et . Montrer que ce sont des matrices inversibles et déterminer leur inverse. Dans les questions suivantes de III.A, on désigne par un entier naturel non nul.
III.A.2) Montrer la relation :

Indication : on pourra commencer par soustraire la dernière colonne de à toutes les autres.
III.A.3) En déduire l'expression de en fonction de (on fera intervenir les quantités ! pour des entiers adéquats).
III.A.4) Prouver que est inversible, puis que est un entier.
III.A.5) Démontrer que admet valeurs propres réelles (comptées avec leur ordre de multiplicité) strictement positives.

On note l'espace vectoriel des fonctions continues de dans . On convient d'identifier l'espace au sous-espace vectoriel de constitué des fonctions polynomiales de dans ; ainsi, pour tout entier naturel , le polynôme est confondu avec la fonction polynomiale définie par pour tout .
On étend à le produit scalaire de la partie II en posant

(On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire sur .)
On note la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction , on a donc

III.B.1) Soit . Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que

III.B.2) Montrer que la suite est décroissante et converge vers 0 .
III.B.3) Montrer que est la matrice du produit scalaire , restreint à , dans la base canonique de .
III.B.4) Calculer les coefficients de à l'aide de la matrice et des réels .
III.B.5) Déterminer explicitement lorsque est la fonction définie pour tout par .

Pour et , on note le coefficient de place ( ) de la matrice et on désigne par la somme des coefficients de la matrice , c'est-à-dire :

IV.A.1) Calculer et . Conjecturer de manière générale la valeur de en fonction de .
IV.A.2) Soit .
a) Montrer qu'il existe un unique -uplet de nombres réels vérifiant le système de équations linéaires à inconnues suivant :

b) Montrer que .

On définit, pour tout , le polynôme par : . Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par un entier naturel non nul.
IV.A.3) Montrer que

IV.A.4) Exprimer à l'aide de la suite de polynômes définie à la question II.E.
IV.A.5) Pour tout , calculer .
IV.A.6) Déterminer la valeur de .

Pour et , on note le coefficient binomial .
IV.B.1) Soit . Montrer que est un entier pair.

En déduire que, si et , alors est un entier pair.
IV.B.2) Pour tout , montrer qu'on peut écrire :

où est un polynôme à coefficients entiers que l'on explicitera.
Parmi les coefficients de , lesquels sont pairs?

Soit .
a) Calculer pour tout ; on donnera en particulier une expression très simple de et en fonction de .
b) Calculer pour tout couple ; en déduire que les coefficients de sont des entiers.
c) Montrer que est divisible par 4 pour tout couple .