J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 2 MP 2022

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctions
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2022
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2022MP MathsMaths 2022
2025_08_29_f6a732774529df7eb68fg

Objectifs

Ce problème étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions de deux façons différentes : un point de vue déterministe et un point de vue probabiliste. Pour conclure à une formule du type avec entier supérieur ou égal à 2 , les théorèmes usuels contiennent généralement au moins une hypothèse sur les dérivées intermédiaires (par exemple de convergence simple sur tout l'intervalle ou même en un seul point). Le sujet montre que l'on peut affaiblir l'hypothèse de contrôle des dérivées intermédiaires par une hypothèse de convergence de séries numériques de la forme où parcourt un ensemble fini. Cette dernière hypothèse sera de nouveau affaiblie dans la partie probabiliste consacrée à la dérivation de séries aléatoires de fonctions.
Le sujet est divisé en quatre parties :
  • la partie I étudie une inégalité, qualifiée d'inégalité d'interpolation, qui permet de contrôler les dérivées intermédiaires d'une fonction de classe ;
  • la partie II utilise la partie I pour démontrer un résultat de transfert du caractère à une somme de série de fonctions ;
  • la partie III, qui est indépendante des parties I et II, étudie la convergence des séries aléatoires numériques de la forme , où ( ) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de Rademacher et ( ) une suite réelle telle que la série converge ;
  • la partie IV utilise les résultats des parties précédentes pour donner une application au caractère de la somme d'une série aléatoire de fonctions de la forme .

Notations

  • Pour tous entiers et vérifiant , la notation désigne l'intervalle d'entiers .
  • La lettre désigne systématiquement un entier naturel non nul.
  • Le symbole désigne le -espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à à coefficients réels.
  • Pour tout intervalle , on note le -espace vectoriel des fonctions de classe . Pour tous et , on note la dérivée d'ordre (et donc , , ).
  • Dans le cas particulier , pour toute fonction bornée , on note .

I Inégalités d'interpolation des dérivées

Soit réels distincts de l'intervalle . Le but de cette partie est de montrer le résultat suivant : il existe une constante (dépendant des réels ) telle que
Une inégalité du type précédent est appelée inégalité d'interpolation à l'ordre .

I.A - Cas particulier

On fixe et on étudie une inégalité d'interpolation à l'ordre 1 ,
Q 1. Montrer l'inégalité d'interpolation (I.2) avec .
Q 2. Soit . À l'aide d'un exemple simple de fonction , montrer que l'inégalité d'interpolation (I.2) est fausse.

I.B - Cas particulier

On fixe deux réels distincts de . On veut construire une constante telle qu'on ait l'inégalité d'interpolation à l'ordre 2 ,
Q 3. Pour tous et , démontrer l'inégalité
Q 4. En déduire que, pour toute fonction , on a .
Q 5. Conclure le cas en montrant l'inégalité d'interpolation (I.3) avec .

I. - Cas général par interpolation de Lagrange

On revient à l'étude du cas général d'inégalité d'interpolation à l'ordre , donnée par (I.1). On fixe .
Q 6. Démontrer que l'application
est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Q 7. Montrer qu'il existe polynômes de tels que, pour toute fonction , le polynôme vérifie
Dans les deux questions suivantes Q8 et Q9, on fixe et on note le polynôme déterminé dans la question Q7.
Q 8. Pour tout , montrer qu'il existe au moins réels distincts de en lesquels la fonction s'annule.
Q 9. En déduire l'inégalité pour tout .
Q 10. Montrer qu'il existe une constante pour laquelle l'inégalité d'interpolation (I.1) est vérifiée.

II Dérivation pour les séries de fonctions

II.A - Énoncé général

On se propose maintenant de démontrer le résultat annoncé dans le préambule. Soit , on considère
  • des réels distincts d'un intervalle (avec );
  • une suite de fonctions de classe sur à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses
    (H1) la série de fonctions converge normalement sur ;
    (H2) pour tout la série numérique est absolument convergente.
    Q 11. Dans le cas particulier , justifier que la série converge normalement sur pour tout .
    Q 12. Traiter la question précédente dans le cas général d'un segment avec .
    On pourra examiner où est définie par pour tout .
    D'après le résultat de la question précédente, on peut poser pour tout .
    Q 13. Démontrer que est de classe sur et que pour tout .

II.B - Application sur un exemple

Dans cette sous-partie, on considère un exemple où les dérivées intermédiaires ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles.
Q 14. Pour tout , justifier qu'il existe une unique fonction vérifiant , et pour tout .
Q 15. Montrer que la série de fonctions converge normalement sur tout segment inclus dans et que la fonction est de classe sur .
Q 16. Expliciter .
Q 17. Montrer que pour tout .

III Convergence d'une série aléatoire de Rademacher

Le but de cette partie est de montrer que, si la série converge, alors la série aléatoire converge avec probabilité 1 .

Notations

  • désigne une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes d'un espace probabilisé vérifiant
  • est une suite réelle telle que la série converge ;
  • pour tout , on note la somme partielle au rang de la série ;
  • si est une suite strictement croissante d'entiers naturels, pour tout entier et tout entier , on note les évènements
La réalisation de l'évènement signifie que est le plus petit entier de l'intervalle vérifiant .
III.A - Construction de la suite et majoration de
Q 18. Justifier l'existence d'une suite strictement croissante d'entiers naturels vérifiant
On fixe désormais une telle suite .
Q 19. Exprimer l'espérance et la variance de en fonction des termes de la suite .
Q 20. Déduire des deux questions précédentes la majoration .
III.B - Inégalité maximale de Lévy
Q 21. Pour tout , démontrer que les évènements , pour parcourant , sont disjoints deux à deux et qu'on a l'égalité d'évènements
Q 22. Expliquer comment en déduire la formule .
Q 23. Soit , montrer que la fonction
est à valeurs dans et est paire.
Q 24. Prouver que si l'évènement se réalise, alors il existe et tels que l'évènement
se réalise également.
On pourra exprimer en fonction des deux nombres avec .
Q 25. En déduire que
III.C - Convergence de la série aléatoire
Q 26. On note l'évènement . Montrer l'égalité .
Q 27. Montrer que l'évènement
se réalise avec probabilité 1 .
Q 28. En déduire que l'évènement
a également une probabilité 1 .
On pourra examiner la série .
Q 29. Conclure que l'évènement
é
a une probabilité 1 .

IV Dérivation pour des séries aléatoires de fonctions

On fixe et on considère
  • une suite de variables aléatoires vérifiant les hypothèses de la partie précédente ;
  • des réels distincts de ;
  • une suite de fonctions de classe sur à valeurs réelles et vérifiant les deux hypothèses
    (H1) la série de fonctions converge normalement sur ;
    (H2') pour tout , la série numérique est convergente.
    Q 30. Montrer que l'une des deux hypothèses (H2') ou (H2) (étudiée dans la partie II) implique l'autre.
    Q 31. Montrer que l'évènement
é
a une probabilité 1 .
Q 32. On note un polynôme vérifiant pour tout (cf. question 7 ), montrer que l'évènement
éé
a une probabilité 1 .
Q 33. Montrer que l'évènement
éé
a une probabilité 1 .
Q 34. Donner un exemple d'entier pour lequel l'évènement
précédent se réalise avec les fonctions définies par
Centrale Mathématiques 2 MP 2022 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa