Centrale Mathématiques 2 PC 2001

On désigne par l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice on note la matrice transposée de la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de la matrice et le rang de .
On fixe un entier et on considère munis des opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement et .
L'espace vectoriel V admet pour base canonique

Pour on pose , cequi donne une matrice à lignes et colonnes dont le coefficient d'indice ( ) vaut et 0 sinon. La base canonique de est constituée des matrices . On note I la matrice identité, .
Si A est une matrice élément de et un sous-espace vectoriel de désigne l'ensemble .
Si F est un sous-ensemble de E , on dit que W est stable par F si

Pour tout sous-ensemble de E on s'intéresse aux propriétés suivantes:
contient (au moins) une matrice de rang 1 ,
contient (au moins) une matrice de rang n ,
contient I,
est un sous-espace vectoriel de E ,
est stable par produit de matrices: ,
: si W est un sous-espace vectoriel de V stable par , alors soit soit .

I.A - Dans cette section I.A - , est l'ensemble des qui sont inversibles:

I.A.1) Soit un vecteur non nul de . Montrer que pour tout vecteur y non nul de il existe une matrice inversible telle que .
Indication : on peut considérer deux cas,
a) la famille ( ) est liée,
b) la famille ( ) est libre.

En déduire que la propriété est vérifiée par .
I.A.2) Indiquer celles des propriétés qui sont vérifiées par ; justifier les réponses.
I.B - Dans cette section I.B - , est l'ensemble des matrices qui sont triangulaires inférieures, c'est-à-dire telles que

I.B.1) Montrer que est vecteur proprede tout . Que peut-on dire de la propriété pour ?
I.B.2) Indiquer celles des propriétés qui sont vérifiées par ; justifier les réponses.
I.C - Dans cette section I.C -, et est un sous-ensemble de E pour lequel et sont vérifiées.
1.C.1) On suppose que n'est pas vérifiée par (les matrices de rang 1 appartiennent donc toutes à le complémentaire de dans E). Soit et . Quelles sont les valeurs possibles du rang de ? Montrer que est l'ensemble des homothéties vectorielles.
I.C.2) On suppose que est vérifiée par . Montrer qu'alors la propriété est vérifiée par .

Dans cette partie, les propriétés et sont supposées vérifiées par (en plus de et ). On veut montrer qu'alors aussi est vérifiée.
On note

et on se propose de montrer que , ce qui établira .
On suppose dans un premier temps que . On note alors un élément de qui vérifie et on considère une base de . On note des éléments de tels que .
II.A - Montrer que .

On note alors un élément de qui vérifie et on pose . Montrer que ( ) est une famille libre.
II.B - Montrer que est stable par puis que , tel que et .
En déduire que .
Conclure que .

Dans cette partie on suppose que et que la dimension de est supérieure ou égale à . On veut montrer que et sont vérifiées, puis que , c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'hyperplan de E stable par produit matriciel.
III.A - Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par ; on note k la dimension de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de qui contient et dont la dimension vaut . En déduire que ou . On a donc démontré .

III.B.1) On supposeici:
(*) et .

On note alors le sous-espace vectoriel de E engendré par et I .
Montrer que puis que contient une matrice inversible.
III.B.2) On suppose ici que c'est le contraire de (*) qui est vrai, donc

Trouver une combinaison linéaire deces qui donneunematriceinversible. En déduire que dans tous les cas contient une matrice inversible A .
III.C-Montrer que pour la matrice définie ci-dessus, la famille ( ) est une famille liée.
En déduire qu'il existe un entier et des nombres complexes tels que et

Montrer alors que .
On a donc démontré .
Compte tenu de la partie II -, la propriété est donc satisfaite. On note alors une matrice de rang 1 qui appartient à , matrice que l'on peut écrire

On introduit le produit scalaire canonique sur et pour on pose

III.D - Soit . Montrer que est un sous-espace vectoriel de V stable par et que n'est pas réduit à .
Montrer alors que et .
Montrer que . En déduire que pour tout il existe tels que et , puis que toute matrice de rang 1 appartient à . Montrer que .