Centrale Mathématiques 2 PC 2007

Préliminaires et notations :

On rappelle que est un espace vectoriel sur de dimension pour les lois usuelles. On munit de plus d'une multiplication notée et définie par:
Pour tout et dans .
I.A - Soit fixé dans . Pour , on notera :

I.A.1) Vérifier que est une application linéaire de vers , telle que pour tout .
I.A.2) Montrer que est un sous-espace vectoriel de . Montrer que est stable pour , c'est-à-dire que, si alors .
I.A.3) On suppose ici pour tout tels que .

On note l'ensemble des polynômes de dont le degré est inférieur ou égal à .
Montrer que la restriction de à est injective.
Montrer que est de dimension .
I.B - Soit donné dans , ainsi que fixé de degré .

On s'intéresse à l'ensemble noté .
I.B.1) Montrer que si n'est jamais vide.
I.B.2) Montrer que si peut être vide : donner un exemple.
I.B.3) On suppose , et avec .

Déterminer le cardinal de , noté , en fonction de et de .

I.B.4) D'une façon générale, donner un majorant de en fonction de et du degré de .
I.C - Pour partie non vide de , et fixé de degré , on s'intéresse à l'ensemble noté .
I.C.1) Exemple 1 : On prend . Déterminer et dessiner et , dans chacun des cas suivants :
i) ,
ii) ,
iii) .
I.C.2) Exemple 2 : On prend . Déterminer et donner la nature géométrique de et , dans chacun des deux cas suivants :
i) ,
ii) .
I.C.3) Exemple 3 : On prend et soit:

Déterminer et dessiner et .
I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur la norme infinie définie par :

I.D.1) On suppose que est de cardinal fini. Donner un majorant de en fonction de , de et du degré de .
I.D.2) Si est borné, montrer que est borné. Lorsque , donner un exemple pour lequel est non borné et est borné. Lorsque , si est borné, montrer que est borné.

Soit un espace vectoriel sur de dimension finie et l'espace vectoriel sur des endomorphismes de , qui est aussi muni de la loi de composition o.
On note l'application identité de dans .
II.A - Soit .

On considère projecteurs non nuls de tels que :

On pose .
II.A.1) Montrer que est un -espace vectoriel de dimension , stable pour .
II.A.2) Montrer que l'application de vers , définie par :

est un isomorphisme tel que, pour tout .
II.A.3) Montrer que, pour tout et .
II.B - Soit , avec , où .

On suppose pour tout tels que .
II.B.1) Soit avec , et .

Montrer que si et seulement si pour tout .
II.B.2) Montrer que pour tout , il existe tel que .
II.B.3) Montrer que est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres.
II.C - Soit supposé diagonalisable. On note ses valeurs propres distinctes et on pose .
Pour donné, on note .
II.C.1) Donner projecteurs non nuls tels que pour tout tels que , et .
On dispose ainsi de l'application définie en II.A.
II.C.2) Soit .

Montrer que .
Montrer que chaque sous-espace est stable par , pour tout .
On suppose que est diagonalisable. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres pour et propres pour .
II.C.3) Montrer que et que, si toutes les valeurs propres de sont simples, on a l'égalité .
On suppose que et que avec . Déterminer le cardinal de lorsque toutes les valeurs propres de sont simples.
II.C.4) On suppose que et que avec et .

Lorsque , montrer que est de cardinal infini.
Montrer que est de cardinal infini si et seulement si admet au moins une valeur propre multiple.
II.C.5) On suppose que et que avec .

Si l'on suppose que les complexes sont tous non nuls, montrer que si , alors est diagonalisable.
Si l'on suppose que et que , montrer que est diagonalisable si et seulement si et ont le même rang.
II.D - Exemple 4 : On prend , et de matrice dans la base canonique :

Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les applications , telles que .

Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien de dimension , muni d'un produit scalaire noté . notée .
On note le groupe (pour la loi ) des automorphismes orthogonaux de . On note de plus l'ensemble des endomorphismes symétriques de .

Soit donné. Pour , on s'intéresse à et aux sous-ensembles ou .

III.A.1) Montrer que si est non vide alors .
III.A.2) On suppose ici que est pair et . Montrer que est non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de sont dans .
III.A.3) On suppose ici que est impair et . Montrer que est non vide et est réduit à un seul élément.
III.A.4) Exemple 5 :

Soit .
Déterminer toutes les matrices telles que .
Déterminer toutes les matrices symétriques telles que .

III.B.1) Montrer que si est non vide, alors .
III.B.2) Soit . Montrer que si est un sous-espace vectoriel de stable par , il en est de même de son orthogonal .
III.B.3) On suppose ici et orienté, et on suppose que est la rotation d'angle de mesure , avec . Déterminer .
III.B.4) Exemple 6 :

Soit .
Déterminer toutes les matrices telles que .
Déterminer toutes les matrices orthogonales telles que .
III.C - Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , et la symétrie orthogonale par rapport à .
III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur et pour que soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément .
III.C.2) Étudier .
III.D - On suppose ici que , et on considère l'espace euclidien orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant orthonormale directe.

Soir , et soit la rotation d'angle de mesure , avec , d'axe , où .
III.D.1) Déterminer .
III.D.2) Déterminer .
III.D.3) Exemple 7 :

Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations de , telles que soit la rotation d'axe dirigé par et d'angle de mesure .