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Centrale Mathématiques 2 PC 2008

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)RéductionPolynômes et fractions
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Centrale
Année
2008
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2008PC MathsMaths 2008
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Notations

  • Dans ce problème, désigne l'espace vectoriel sur des suites de complexes .
  • Pour représente l'espace vectoriel des suites formées de vecteurs de .
  • On note l'espace vectoriel des matrices carrées à lignes à coefficients dans .
  • Enfin, si est une matrice, désigne sa transposée.

Question préliminaire

Soit une matrice de .
On note . On suppose .
  • Calculer le produit matriciel
  • En déduire l'expression de la matrice en fonction de .

Partie I - Récurrences linéaires

I.A - Récurrences linéaires d'ordre 2

On considère ici les suites de pour lesquelles il existe des complexes et vérifiant la propriété suivante :
On associe à une telle suite de la suite de définie par :
I.A.1) Déterminer une matrice de telle que pour tout entier positif , on ait :
I.A.2) Montrer que est valeur propre de si et seulement si :
I.A.3) On suppose que admet deux valeurs propres distinctes et et on note
a) Déterminer les matrices inversibles de telles que .
b) Exprimer pour tout entier naturel , en fonction des matrices , des complexes et de l'entier .
I.A.4) On suppose maintenant que admet une seule valeur propre et on note
a) Exprimer et en fonction de .
b) Montrer que la matrice est semblable à la matrice et déterminer les matrices
inversibles de telles que:
c) Exprimer pour tout entier naturel , en fonction des matrices , du complexe et de l'entier .
I.A.5) Montrer que l'on a l'alternative suivante:
  • soit admet deux valeurs propres distinctes et elle est diagonalisable;
  • soit admet une seule valeur propre et elle n'est pas diagonalisable.
    I.A.6) Deux exemples numériques
Dans les deux exemples qui suivent, il est demandé de :
  • expliciter la matrice ,
  • donner une matrice de passage telle que soit d'une forme simple comme ci-dessus,
  • en déduire puis en fonction de et
    (il sera tenu compte de la simplicité et de la clarté des choix effectués).
    a) Exemple 1
    vérifie la propriété suivante :
b) Exemple 2
vérifie la propriété suivante :

I.B - Vers un ordre supérieur, à petits pas

On note l'application qui à élément de associe la suite des vecteurs de définie par pour tout .
Ainsi, les trois premiers termes de la suite sont .
À tout polynôme unitaire de ,
on associe le sous-espace de formé des suites telles que pour tout ,
ainsi que la matrice .
I.B.1) Calculer le polynôme caractéristique de .
I.B.2) Vérifier que est linéaire et injective. Est-elle surjective? I.B.3)
a) Soit . Montrer que son image par vérifie :
b) Montrer que réciproquement, toute suite de pour laquelle on a pour tout , est élément de .
I.B.4) Montrer que est le sous-espace de engendré par les suites de vecteurs , où désigne la base canonique de .
En déduire la dimension de .
I.C - Des exemples (quasi) numériques
On introduit ici quelques exemples de polynômes et on se propose d'étudier le comportement à l'infini des suites de .
I.C.1) Exemple 1
On considère ici le polynôme : .
a) Écrire la matrice qui lui est associée. Justifier qu'elle est diagonalisable dans .
b) Choisir une valeur explicite simple de . Après un calcul effectif des premiers termes de la suite , conjecturer la limite de cette suite de vecteurs.
c) Vérifier que où et .
d) Calculer et .
En déduire la valeur de pour et .
e) Exprimer pour tout entier naturel le vecteur en fonction de .
En déduire que les suites et de et de convergent.
Attention : n'est pas dans !

I.C.2) Exemple 2

Dans cette question, on considère le polynôme: .
a) Déterminer les valeurs propres de la matrice associée à .
b) En déduire que les suites appartenant à sont périodiques et que, à toute suite appartenant à , on peut associer trois nombres complexes tels que:

I.C.3) Exemple 3

Dans cette question, on considère le polynôme :
où et désignent deux nombres réels distincts.
a) Préciser la matrice associée à ce polynôme.
b) On admet que avec et .
En déduire que si le polynôme admet une racine double, la matrice qui lui est associée n'est pas diagonalisable.
c) À quelles conditions sur et a-t-on chacune des propriétés suivantes:
  • pour tout ?
  • pour tout converge?

Partie II-De la récurrence linéaire en général

Cette partie aborde l'étude des systèmes d'équations de la forme
dans lesquelles désigne un élément inconnu de et est une suite de matrices de .
Dans la suite de cette partie, la suite est fixée et on lui associe la suite de matrices définie par (matrice unité d'ordre ) et pour tout entier naturel .

II.A - Résultats d'existence et d'unicité des solutions

II.A.1) Soit une solution de .
Exprimer en fonction de et de la suite .
II.A.2) Montrer que le système avec condition initiale
admet une solution et une seule pour tout .
II.A.3) On note l'ensemble des solutions du système .
a) Vérifier que est un sous-espace vectoriel de .
b) On considère l'application
telle que .
Montrer que est isomorphisme.
En déduire que est de dimension .
c) En déduire que la famille des solutions des systèmes (où désigne la base canonique de ) forme une base de l'ensemble des solutions du système .

II.B - Étude d'un exemple

On considère ici le système dans lequel, pour ,
II.B.1) On introduit la notation suivante :
et . Déterminer la matrice en fonction de et de .
II.B.2) Expliciter les solutions de ce système en fonction de et de .
II.B.3) Donner une base de l'espace des solutions du système.
II.B.4) Que peut on dire du comportement à l'infini de ?
II.C - Problème avec condition initiale au temps
Soient . On se propose d'étudier le système avec condition initiale
II.C.1) On suppose que pour tout la matrice est inversible et on considère , une solution de .
a) Exprimer d'une façon générale (pour ) et (lorsque ) à l'aide de la suite .
b) Justifier que le système ( ) admet une solution et une seule.
II.C.2) On suppose qu'il existe tel que ne soit pas inversible.
a) Le système peut il ne pas avoir de solution?
b) Le système ( ) peut il avoir plus d'une solution?

II.D - Équations avec second membre

Cette question aborde l'étude de systèmes de la forme
ou de problèmes , où désigne encore une suite de matrices de fixée, une suite de fixée et un entier supérieur ou égal à 1 .
On suppose, de plus, que pour , les matrices sont inversibles.

II.D.1) Existence, unicité et calcul pratique

a) Montrer que le problème admet une solution et une seule pour tout élément de .
b) Écrire, dans le langage de calcul formel de son choix une procédure qui prend en arguments deux entiers naturels et , un vecteur , et retourne le terme d'ordre de la suite solution du problème ( ). Sont supposées données les fonctions , dans une syntaxe adaptée au langage.
Dans ce qui suit, on suppose que toutes les matrices sont inversibles et que:
désigne une base quelconque de l'espace des solutions du système homogène .
II.D.2) Prouver que pour fixé, est une base de . indication : montrer que la famille est libre en observant que le problème
II.D.3) Pour tout entier naturel , on note la matrice carrée de dont les colonnes sont les vecteurs .
a) Montrer que si est une suite quelconque de il existe des suites de complexes , telles que pour tout ,
b) Soit une suite quelconque de .
Pour tout , on note la matrice colonne des composantes
du vecteur dans la base .
Montrer que est solution de si et seulement si la suite vérifie la relation suivante pour tout entier naturel :

II.E - Un exemple

Reprenons la suite des matrices et introduisons le problème avec second membre : avec .
II.E.1) Expliciter une suite de matrices construite comme dans la question précédente ainsi que la relation de récurrence matricielle établie dans la question précédente.
II.E.2) On considère une solution du problème avec second membre vérifiant la condition
Donner une expression de puis de en fonction de et .

FIN •••

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