Centrale Mathématiques 2 PC 2013

Pour entier supérieur ou égal à 2 , on note l'espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels à lignes, et l'ensemble des matrices inversibles de .
On rappelle qu'une matrice de est dite orthogonale si où désigne la transposée de et où est la matrice identité. On note l'ensemble des matrices orthogonales de , et le sous-ensemble de constitué des matrices orthogonales de déterminant 1 . On rappelle que ( ) est un sous-groupe de et que ( ) est un sous-groupe de ( ). Le premier est appelé groupe orthogonal, le second groupe spécial orthogonal.
Pour , on note l'endomorphisme canoniquement associé à , c'est-à-dire l'unique endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est .
Si est une valeur propre de , on notera respectivement et les sous-espaces propres associés à , pour et respectivement.
On munit de sa structure euclidienne orientée canonique, de sorte que la base canonique est orthonormée directe. Le produit scalaire est noté ( ) et la norme euclidienne associée est notée .
Pour tout couple de vecteurs non nuls de , on dit que est une mesure de l'angle orienté ( ) lorsque et , où désigne le produit mixte, c'est-à-dire le déterminant dans n'importe quelle base orthonormée directe.
On appelle similitude de rapport tout endomorphisme de pour lequel il existe un réel et une matrice de tels que la matrice de dans la base canonique de soit égale à .

I.A.1) Montrer que si et seulement si il existe un réel tel que avec .
I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet de réels et qui renvoie, lorsque c'est possible, un réel tel que et un message d'erreur dans le cas contraire.
I.A.3) Vérifier que l'application qui, à tout réel , associe la matrice , est un morphisme surjectif du groupe sur le groupe ( ).
Ce morphisme est-il bijectif ?
I.A.4) Montrer que, pour tout de et tout non nul de est une mesure de l'angle orienté ( ), où est l'endomorphisme (la rotation d'angle ) canoniquement associé à .
Pour tout et tout , l'endomorphisme est appelé similitude directe de rapport et d'angle .

Soit et telles que .
I.B.1) Montrer que et ont les mêmes valeurs propres.
I.B.2) Montrer que si est une valeur propre de , alors .

I.C.1) On note .

Vérifier que l'endomorphisme est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport à une droite du plan) dont on précisera les éléments propres.
I.C.2) Pour tout réel , préciser l'endomorphisme canoniquement associé à et en particulier ses éléments propres.
I.C.3) Montrer, que pour toute matrice de telle que , il existe un réel tel que

Pour dans , on dit que est orthogonalement semblable à (ce que l'on pourra abréger en : os ) s'il existe une matrice de telle que et on dit que est directement orthogonalement semblable à (en abrégé : dos ) s'il existe une matrice de telle que .

II.A.1) Montrer que pour toute de on a dos , que pour tout de si dos alors dos et que pour tout de si dos et dos alors dos .
On dira donc indifféremment que est directement orthogonalement semblable à ou que et sont directement orthogonalement semblables.
On a les mêmes propriétés pour la relation de similitude orthogonale entre deux matrices carrées de même taille et on ne demande pas de refaire ici les vérifications.
II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à pour réel ?
II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à si appartient à ?
II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à ?

Avec , si deux matrices sont directement orthogonalement semblables alors elles sont orthogonalement semblables et si deux matrices sont orthogonalement semblables alors elles sont semblables.
II.B.1) Montrer que et sont directement orthogonalement semblables.
II.B.2) Montrer que et sont semblables mais ne sont pas orthogonalement semblables.
II.B.3) Montrer que et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne sont pas directement orthogonalement semblables.

Pour de et de , on note le déterminant de la matrice et on considère la courbe de définie par l'équation : .
III.A.1) Vérifier que est un cercle (on convient qu'un cercle peut être réduit à un point) ; on appellera cercle propre de . Préciser son centre et son rayon .
III.A.2) Préciser, en fonction de , le cardinal de l'intersection de avec l'axe des abscisses .
III.A.3) Que représentent les solutions de l'équation pour ?

Préciser le nombre de valeurs propres réelles de selon la valeur de .

Soit .
III.B.1) Comparer le cercle propre de et celui de sa transposée.
III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que soit symétrique.
III.B.3)
a) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et caractériser géométriquement leur endomorphisme canoniquement associé.
b) Lorsque le cercle propre est réduit à son centre, préciser l'endomorphisme canoniquement associé, d'une part quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l'origine et de rayon 1) et d'autre part quand ce centre appartient à l'axe des abscisses.
c) Que peut-on dire de la matrice et de quand le cercle propre est de rayon nul et de centre appartenant à l'axe des ordonnées ?

Montrer que deux matrices et de sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre.

Pour dans on considère les quatre points (éventuellement confondus) et .
III.D.1) Dans le cas où , représenter le cercle et le quadrilatère .
III.D.2) Lorsque les quatre points et sont distincts montrer qu'ils sont les sommets d'un rectangle, que l'on appellera rectangle propre de .
III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont confondus, c'est-à-dire lorsque le rectangle est aplati.

Soit de .
III.E.1) Montrer qu'il existe un unique triplet ( ) de que l'on précisera, tel que soit directement orthogonalement semblable à .
III.E.2) Suivant les valeurs de ( ) préciser le nombre de valeurs propres réelles de .
III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme de , il existe des réels positifs ou nuls et , une rotation plane et une réflexion tels que .
III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet de réels et qui renvoie un quadruplet tel que si on ait .

Dans cette section on considère un cercle de centre et de rayon non nul, sécant avec l'axe des abscisses.
On note et , de coordonnées respectives ( ) et ( ), avec , les deux points d'intersection de avec l'axe des abscisses.
Soit une matrice de cercle propre égal à . On conserve les notations de III.D.
IV.A.1) Montrer que est diagonalisable.
IV.A.2) Montrer que si , alors est une base de constituée de vecteurs propres pour .
IV.A.3) Lorsque , peut-on donner une base de vecteurs propres pour à l'aide du cercle propre et du rectangle propre?
IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l'angle de deux vecteurs propres de associés à deux valeurs propres distinctes est déterminé par le cercle , et ne dépend pas du choix d'une matrice de cercle propre égal (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale de sur l'axe des abscisses).
Qu'en est-il si est symétrique?
IV.A.5) Caractériser géométriquement lorsque , avec , et .
IV.A.6) Caractériser géométriquement lorsque est le cercle de diamètre le segment avec .

Dans cette section on considère un cercle de centre et de rayon non nul, tangent à l'axe des abscisses.
On appelle , de coordonnées ( ), le point de contact de avec l'axe des abscisses.
Soit une matrice de cercle propre égal à .
IV.B.1) La matrice est-elle diagonalisable ? Est-elle trigonalisable ?
IV.B.2) Peut-on donner un vecteur propre à l'aide des points et ?
IV.B.3) Que peut-on dire des matrices dont le cercle propre est tangent à l'axe des abscisses et de centre situé sur l'axe des ordonnées?
IV.B.4) Montrer qu'il existe un unique réel non nul tel que soit directement orthogonalement semblable à la matrice .
Préciser à l'aide des éléments de la matrice .
Où peut-on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?
IV.B.5) Montrer qu'il existe une base orthonormée directe ( ) du plan telle que l'on ait, pour tout de .

Dans cette section on considère un cercle de centre et de rayon disjoint de l'axe des abscisses. On note le projeté orthogonal de sur l'axe des abscisses.
Soit une matrice de cercle propre égal à .
IV.C.1) Existe-t-il une matrice de telle que la matrice soit diagonale ?

Existe-t-il une matrice de telle que la matrice soit triangulaire supérieure ?
IV.C.2) Déterminer les points de en lesquels la tangente à contient .
IV.C.3) Si est l'un de ces points, exprimer les valeurs propres de , considérée comme élément de , à l'aide de l'abscisse de et de la distance de à .

Dans cette section, on considère dans un cercle de centre et de rayon et une matrice de cercle propre égal à .
IV.D.1) Dans cette question, et .

Préciser les valeurs propres de et donner une matrice dont les termes non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à , ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé à .
IV.D.2) Dans cette question avec et .

Préciser les valeurs propres et donner une matrice dont les éléments non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à , ainsi qu'une décomposition orthogonale de l'endomorphisme canoniquement associé à .
Faire un dessin dans le cas où illustrant les questions IV.C. 2 et IV.C.3.

Pour de et de , on note la partie réelle du déterminant de la matrice , où i est l'affixe complexe du point .

V.A.1) Calculer .
V.A.2) Préciser la nature de la quadrique d'équation .

V.B.1) Préciser l'intersection de avec le plan d'équation .
V.B.2) Préciser l'intersection de avec le plan d'équation .
V. -
V.C.1) Si la matrice a deux valeurs propres non réelles, comment voir les valeurs propres de sur ? (On pourra s'intéresser à l'intersection de avec le plan d'équation .)
Peut-on voir une base de vecteurs propres à l'aide de ?
V.C.2) Dans le cas où faire un dessin en perspective illustrant ce qui précède.