Centrale Mathématiques 2 PC 2015

L'objet du problème est l'étude de quelques outils permettant l'étude des signaux déterministes.
On note l'espace vectoriel des fonctions de dans .
On dit qu'une fonction de est à support compact s'il existe deux réels et vérifiant tels que est nulle en dehors du segment .
On considère dans tout le problème l'ensemble des fonctions continues par morceaux de dans ; on appelle de telles fonctions des signaux réguliers.
On note la fonction dérivée -ième d'une fonction de classe ; si .

On note l'ensemble des fonctions de dans de classe et à support compact.
Dans cette sous-partie, on note la fonction définie par:

I.A.1)
a) Étudier les variations de .
b) Tracer la représentation graphique de .
c) Montrer que est .
d) Montrer que est un espace vectoriel sur non réduit à .
I.A.2) Montrer que la fonction dérivée de tout élément de est un élément de .
I.A.3)
a) Montrer que est un réel strictement positif.
b) Pour tout réel , on pose et, pour tout entier naturel non nul, .

Montrer que

Pour toute fonction appartenant à et tout entier naturel non nul , on pose

I.A.4) Soit une fonction appartenant à .

Montrer que la fonction est de classe .
I.A.5) Soit la fonction qui vaut 1 sur l'intervalle , et 0 ailleurs. Pour , on pose .
a) Pour et , exprimer en fonction de .
b) Pour , montrer que appartient à et étudier ses variations.
c) Représenter graphiquement et .
d) Montrer que la suite de fonctions ( ) converge simplement vers une fonction que l'on déterminera. Montrer que et sont égales sauf sur un ensemble fini de points.
e) La suite de fonction ( ) converge-t-elle uniformément vers ?

On dit qu'une fonction réelle de classe sur est à décroissance rapide si

On note l'ensemble des fonctions de dans de classe à décroissance rapide.
I.B.1) Montrer que est un espace vectoriel sur .
I.B.2) Montrer que si est dans alors est dans pour tout entier naturel .
I.B.3) Montrer que si est une fonction polynôme et si est dans , alors appartient à .

On dit que la suite de fonctions de converge dans vers la fonction de et on note si, pour tout entier , la suite de fonctions converge uniformément vers et s'il existe un réel tel que

On appelle distribution sur toute application linéaire qui vérifie

On note l'ensemble des distributions sur .
II.A.1) Montrer que si alors l'application définie par

définit une distribution sur .
On appelle distribution régulière toute distribution de la forme , où .
II.A.2) Soit la fonction définie par

Justifier que définit une distribution sur .
II.A.3) Soit un nombre réel.
a) Montrer que l'application qui à tout associe est une distribution.
b) En utilisant la suite de fonctions d'éléments de définie par

montrer que .

Si est une distribution sur , on définit la distribution dérivée par

II.B.1) Justifier que est une distribution sur .

Dans la suite du problème, pour , on notera .
II.B.2) Soit une fonction continue de dans . Si est de classe , montrer que . Adapter ce résultat au cas où est de classe par morceaux.
II.B.3) Montrer que .
II.B.4) On considère l'application qui à toute fonction de associe le nombre réel défini par

a) Montrer que est une distribution régulière.
b) Calculer la dérivée de cette distribution.
II.B.5) Si est un élément de et si est un réel, on pose

La différence , appelée saut en , est notée .
a) Soient des réels tels que .

Soit une fonction de classe par morceaux.
On suppose de plus que est continue sur .
Montrer que

b) Retrouver par cette méthode les résultats des questions II.B. 3 et II.B.4.b.

On dit que la suite de distributions converge vers la distribution si

II.C.1) Pour entier naturel non nul, on considère la fonction nulle sur les réels négatifs, affine sur l'intervalle , égale à 1 pour les réels plus grand que et continue sur .
a) Montrer que la suite de distributions régulières converge vers .
b) Montrer que

c) En déduire que la distribution est régulière et donner une fonction telle que .
d) Représenter pour .
e) Montrer que si la suite de distributions converge vers la distribution , alors converge vers .
f) Quelle est la limite de quand tend vers l'infini?
II.C.2) Pour tout entier naturel non nul , on considère les fonctions

a) Vérifier qu'elles appartiennent à .
b) Étudier les variations des fonctions et puis tracer leur représentation graphique pour et .
c) Étudier la convergence des suites de distributions ( ), ( ) et ( ).