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Centrale Mathématiques 2 PC 2017

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommablesSuites et séries de fonctions
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Centrale
Année
2017
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2017PC MathsMaths 2017
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Mathématiques 2

CONCOURS CENTRALE•SUPÉLEC

4 heures
Calculatrices autorisées
L'objet du problème est une étude de la vitesse de convergence de suites réelles. Dans la partie I, on définit la vitesse de convergence d'une suite à valeurs réelles et on en étudie quelques propriétés. Le but de la partie II est d'obtenir, dans différents cas issus des probabilités, des majorations de suites convergentes vers 0.
Les parties I et II sont indépendantes.

I Vitesse de convergence d'une suite réelle

Dans cette partie, on utilisera les notations suivantes:
  • désigne l'ensemble des entiers naturels;
  • désigne l'espace vectoriel des suites définies sur à valeurs réelles;
  • désigne le sous-ensemble de constitué des suites convergentes telles que
  • à toute suite appartenant à et de limite égale à , on associe la suite définie à partir d'un certain rang par
  • désigne l'ensemble des éléments de telles que soit convergente ;
  • soit une suite appartenant à et soit la limite de ; on dit que la vitesse de convergence de la suite est :
  • lente si ,
  • géométrique de rapport si ,
  • rapide si ;
  • soit une suite appartenant à et de limite égale à , et soit un réel strictement supérieur à 1 ; on dit que la vitesse de convergence de la suite vers est d'ordre si la suite définie à partir d'un certain rang par est bornée ;
  • on rappelle qu'une suite est stationnaire si .

I.A - Des résultats généraux

I.A.1) Montrer que l'ensemble est non vide.
I.A.2) L'ensemble est-il un sous-espace vectoriel de ?
I.A.3) Montrer que est strictement inclus dans .
I.A.4) Soit un élément de . Montrer que appartient au segment .

I.B - Exemples de calcul de vitesse de convergence

I.B.1) Soit un entier strictement positif et un réel appartenant à l'intervalle [. Montrer que les suites et appartiennent à et donner leur vitesse de convergence.
I.B.2) On considère la suite définie par .
a) Montrer qu'au voisinage de .
b) Montrer que la suite ( ) appartient à et donner sa vitesse de convergence.
I.B.3) On considère la suite définie par et .
a) Montrer que la suite ( ) est bien définie et appartient à .
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la suite ( ) appartient à et donner sa vitesse de convergence.
I.B.4) Soit un réel strictement supérieur à 1. La série de Riemann converge vers un réel que l'on notera . On note la suite définie par et .
a) Montrer que .
b) En déduire que appartient à et donner sa vitesse de convergence.

I.C - Vitesse de convergence d'ordre d'une suite réelle

I.C.1) Soit un élément de dont la vitesse de convergence est d'ordre , où est un réel strictement supérieur à 1 . Montrer que la convergence de la suite est rapide.

I.C.2)

a) Montrer que la suite définie par est un élément de . On note la limite de cette suite.
b) Montrer que pour tout entier naturel , on a .
c) En déduire que la convergence de la suite est rapide.
d) Soit un réel strictement supérieur à 1 . Montrer que la convergence de la suite vers n'est pas d'ordre .
I.C.3) On considère un intervalle réel de longueur strictement positive, une application définie sur à valeurs dans et une suite définie par et . On suppose que la suite converge vers un élément de et que est dérivable en .
a) Montrer que .
b) Montrer que si la suite n'est pas stationnaire alors elle appartient à . Donner sa vitesse de convergence en fonction de .
c) Montrer que si , alors est stationnaire.
d) Soit un entier supérieur ou égal à 2 . On suppose que la fonction est de classe sur et que la suite n'est pas stationnaire. Montrer que la vitesse de convergence de est d'ordre si et seulement si .

II Autour de la loi faible des grands nombres

Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont réelles discrètes et définies sur le même espace probabilisé ( ). Pour toute variable aléatoire d'espérance finie, on note l'espérance de .
Soit un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire réelle discrète admet un moment exponentiel d'ordre si la variable aléatoire est d'espérance finie.
On pourra utiliser les deux propriétés suivantes sans avoir besoin de les démontrer. Soit un entier strictement positif et soit variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors:
  • si est une application définie sur à valeurs réelles, alors sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes;
  • si les variables aléatoires sont d'espérance finie, alors la variable aléatoire est d'espérance finie et .

II.A - Préliminaires

Les trois questions de ces préliminaires sont indépendantes.
On rappelle que la fonction cosinus hyperbolique, que l'on note cosh, est définie, pour tout réel , par

II.A.1)

a) Donner le développement en série entière de la fonction cosinus hyperbolique et celui de la fonction définie sur par . On donnera le rayon de convergence de ces deux séries entières.
b) En déduire que .
II.A.2) Soit et deux réels vérifiant . Montrer que .
II.A.3) Soit une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur , et admettant une limite finie en .
a) Montrer que est bornée sur .
b) En déduire que la fonction définie sur par où est un réel strictement négatif, est bornée sur .

II.B - Variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel

II.B.1) Soit un réel strictement positif et une variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel d'ordre . Montrer que la variable aléatoire admet une espérance finie.
II.B.2) Pour chacune des variables aléatoires réelles suivantes, déterminer les réels strictement positifs tels que la variable aléatoire admette un moment exponentiel d'ordre et calculer dans ce cas.
a) une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre , où est un réel strictement positif.
b) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre , où est un réel strictement compris entre 0 et 1 .
c) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre et , où est un entier strictement positif et est un réel strictement compris entre 0 et 1 .

II.C - Une majoration de

Dans les sous-parties II.C et II.D, on considère un réel strictement positif, une variable aléatoire réelle discrète à valeurs dans , et une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi que .
Pour tout entier strictement positif, on définit la variable aléatoire par .
Dans cette sous-partie II.C, on suppose que la variable aléatoire admet un moment exponentiel d'ordre où est un réel strictement positif.

II.C.1)

a) Montrer que la variable admet une espérance finie. On notera l'espérance de .
b) Appliquer, avec les justifications utiles, la loi faible des grands nombres pour la suite de variables aléatoires .

II.C.2)

a) Montrer que la fonction est définie et continue sur le segment .
b) Montrer que la fonction est dérivable sur l'intervalle et déterminer sa fonction dérivée.
II.C.3) On considère l'application définie par
a) Donner les valeurs de et .
b) En déduire qu'il existe un réel appartenant à l'intervalle vérifiant .
II.C.4) Montrer que pour tout réel appartenant au segment et tout appartenant à , la variable aléatoire réelle admet une espérance égale à .
II.C.5)
a) Soit un réel appartenant à l'intervalle et soit appartenant à .
Montrer que , puis que .
b) En déduire qu'il existe un réel appartenant à l'intervalle tel que .
II.C.6) Montrer que la suite définie par: est majorée par une suite de limite nulle et dont la vitesse de convergence est géométrique. Comparer ce résultat à la majoration obtenue avec la loi faible des grands nombres.

II.D - Une majoration de

Dans cette sous-partie II.D, on suppose qu'il existe un réel strictement positif tel que la variable aléatoire réelle discrète vérifie et .
II.D.1) Montrer que la variable aléatoire admet un moment exponentiel d'ordre pour tout réel strictement positif.
Les fonctions et des questions II.C. 2 et II.C. 3 sont ainsi définies sur .
II.D.2) On considère la variable aléatoire réelle définie par .
a) Vérifier que .
b) Montrer que .

II.D.3)

a) Montrer que .
b) En déduire que .
II.D.4) Montrer que .
II.D.5) Montrer que .
II.D.6) Soit un entier naturel non nul, un élément de l'intervalle ]0, et une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre ( ).
À l'aide de la question précédente, majorer en fonction de et .
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