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Centrale Mathématiques 2 PC 2018

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Intégrales à paramètresProbabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre généraleIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Centrale
Année
2018
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2018PC MathsMaths 2018
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Objectifs et notations

Le fil conducteur du problème est l'étude de certaines questions liées à la fonction zêta, notée , définie par
  • Dans la partie I, on introduit la fonction et on étudie son allure (variations, limites, courbe représentative).
  • La partie II étudie une fonction définie comme la somme d'une série de fonctions. Le développement en série entière de la fonction fait intervenir la fonction .
  • La partie III utilise la fonction pour construire une loi de probabilité sur et montrer des résultats liant les probabilités et l'arithmétique.

I Fonction zêta

On note la fonction de la variable réelle définie par
On note son ensemble de définition.
Q 1. Déterminer .
Q 2. Montrer que est continue sur .
Q 3. Étudier le sens de variation de .
Q 4. Justifier que admet une limite en .
Q 5. Soit et soit tel que . Montrer : .
Q 6. En déduire, que pour tout ,
Q 7. Déterminer la limite de lorsque tend vers 1 par valeurs supérieures.
Q 8. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
Q 9. Donner l'allure de la courbe représentative de .

II Étude d'une fonction définie par une somme

Dans cette partie, désigne la fonction définie par
On note l'ensemble de définition de .

II.A - Ensemble de définition et variations

Q 10. Déterminer .
Q 11. Montrer que est continue sur et étudier ses variations.

II.B - Équivalents

Soit .
Q 12. Calculer .
Q 13. En déduire un équivalent de en .
Q 14. Pour tout , vérifier que , puis calculer .
Q 15. En déduire un équivalent de en . Quelles sont les limites à droite et à gauche de en ?

II.C - Série entière

On considère la série entière de la variable réelle donnée par .
Q 16. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. Y a-t-il convergence en ?
Q 17. Montrer que est de classe sur et calculer pour tout et tout .
Q 18. Montrer qu'il existe tel que
Q 19. En déduire que est développable en série entière sur et que

II.D - Intégrales

Q 20. Déterminer pour quels l'intégrale ci-dessous est convergente
Q 21. En remarquant que, pour tout , montrer que
Q 22. Déduire des questions précédentes une expression intégrale de pour tout .
Q 23. Montrer enfin que

III Probabilités

Rappels d'arithmétique

On rappelle ici quelques propriétés élémentaires d'arithmétique.
  • Pour tout , on dit que divise s'il existe tel que . On dit aussi que est un diviseur de , ou encore que est multiple de .
    Pour tout , on note l'ensemble des multiples de dans . Ainsi, divise si et seulement si .
  • Pour tout , le plus grand commun diviseur (PGCD) de et est l'entier naturel noté tel que
tel que divise et divise
  • Pour tout et tout , on a l'équivalence
  • On dit qu'un entier naturel supérieur ou égal à 2 est un nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et . Soit l'ensemble des nombres premiers. On rappelle que est infini.
    On note la suite des nombres premiers rangés dans l'ordre croissant. Ainsi, , etc.
  • Si , si sont des nombres premiers distincts et, alors pour tout , on a l'équivalence
  • Pour tout tel que , il existe tel que divise .

III.A - Loi zêta

Q 24. Soit tel que . Montrer qu'on définit la loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans en posant
On dira qu'une telle variable aléatoire suit la loi de probabilité zêta de paramètre .
Dans les questions suivantes de cette sous-partie III.A, on suppose que est une variable aléatoire qui suit la loi zêta de paramètre .
Q 25. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l'aide de .
Q 26. Plus généralement, pour tout , donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l'aide de .
Q 27. En déduire la variance de .
Q 28. Montrer que, pour tout .

III.B - Mutuelle indépendance

Soit un réel tel que et soit une variable aléatoire qui suit la loi zêta de paramètre .
Soit enfin , un -uplet de nombres premiers distincts.
Q 29. Montrer que les événements sont mutuellement indépendants.
Cela entraine, et on ne demande pas de le démontrer, que leurs complémentaires sont mutuellement indépendants.
Pour tout , on note l'événement .
Q 30. Montrer que . En déduire que

III.C - Deux variables indépendantes suivant une loi zêta

Soit tel que . Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de probabilité zêta de paramètre . Soit l'événement « Aucun nombre premier ne divise et simultanément ». Pour tout , on note l'événement
Q 31. Exprimer l'événement à l'aide des événements . En déduire que

III.D - Deux variables indépendantes suivant une loi uniforme

Soient et deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur . On note .
Q 32. Pour tout , montrer que
On admet que, pour tout , la suite converge vers un réel .
Q 33. Montrer que
Q 34. En déduire que définit une loi de probabilité sur .
On note une variable aléatoire sur qui suit cette loi de probabilité. En adaptant la méthode de la question 33, on peut établir que, pour tout partie de . On ne demande pas de démontrer ce résultat.
Enfin, on admet le résultat suivant : si et sont deux variables aléatoires à valeurs dans et si, pour tout , alors et ont la même loi de probabilité.
Q 35. Préciser la loi de . En considérant , que peut-on alors en conclure ?
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