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Centrale Mathématiques 2 PC 2022

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Polynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries entières (et Fourier)
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Banque
Centrale
Année
2022
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2022PC MathsMaths 2022
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Ce sujet en trois parties étudie la convergence des polynômes d＇interpolation de Lagrange sous différentes hypothèses et aborde le phénomène de Runge．
La partie I est consacrée à l＇étude de deux familles de polynômes，les polynômes de Lagrange et les polynômes de Tchebychev．
La partie II donne des résultats généraux de convergence des polynômes d＇interpolation de Lagrange pour des fonctions de classe ；elle utilise également quelques résultats de la partie I．
Enfin la partie III présente le phénomène de Runge．Elle s＇appuie sur les sous－parties III．A et III．B，qui portent sur une intégrale généralisée et sont indépendantes des parties I et II．

Notations

Si et sont deux entiers tels que ，on note l＇ensemble des entiers tels que ． Pour tout réel ，on note la partie entière de ．
Pour ，on note l＇espace vectoriel des polynômes à coefficients dans de degré inférieur ou égal à ．

I Étude de deux familles de polynômes

Soit et une famille de réels deux à deux distincts．
Pour tout dans ，on note le polynôme de degré défini par
On dit que sont les polynômes de Lagrange associés à ．

I．A－Polynômes de Lagrange

On définit l＇application
Q 1．Montrer que est un produit scalaire sur ．
Q 2．Montrer que，pour tout et dans ，
Q 3．Montrer que，pour tout et tout ，
Q 4．Montrer que la famille est une base orthonormée de muni du produit scalaire ．
Q 5．En déduire que，pour tout ，
Q 6．Montrer que，pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à ，
I.B - Polynômes de Tchebychev
Soit . On pose
Q 7. En développant pour deux réels bien choisis, montrer que
Q 8. Montrer que est un polynôme de degré . Expliciter le coefficient dominant de .
Q 9. Montrer que est l'unique polynôme à coefficients réels vérifiant la relation
Q 10. Pour , on pose . Montrer que
I. Soit et un polynôme unitaire de degré . L'objectif de cette sous-partie est de montrer que
puis d'étudier dans quel cas on a égalité.
Q 11. Montrer que . En déduire un polynôme unitaire de degré réalisant le cas d'égalité dans (I.2).
On pose et, pour tout .
Q 12. Montrer que est un polynôme de degré inférieur ou égal à .
Q 13. Dans cette question, on montre (I.2) par l'absurde.
  • Si on suppose que , montrer que, pour tout .
  • En déduire une contradiction et conclure.
On suppose maintenant que .
Q 14. Montrer que, pour tout ,
Q 15. En déduire que , puis que .
On pourra considérer la somme des inégalités de la question précédente et exploiter la question 6 appliquée à des données convenables.

II Interpolation et convergence des polynômes d'interpolation pour une fonction de classe

II.A - Interpolation d'une fonction de classe

Dans cette sous-partie, est un entier naturel non nul et est un segment , où . On considère nombres réels distincts de .
On note les polynômes de Lagrange associés à définis par (I.1) et on note .
Pour toute fonction définie sur , le polynôme
est l'unique polynôme tel que pour tout . On l'appelle polynôme interpolateur de Lagrange de associé à .
Q 16. Soit une une fonction à valeurs réelles de classe sur et s'annulant en points distincts de . Montrer qu'il existe tel que .
Q 17. Soit une fonction à valeurs réelles de classe sur . Soit le polynôme interpolateur de associé aux réels , comme défini en (II.1) ci-dessus. Pour tout , montrer qu'il existe tel que
Pour distinct des , on pourra considérer la fonction définie sur par
où le réel est choisi de façon que .
Q 18. En déduire que
où .

II.B - Suites de polynômes interpolateurs

On considère encore un segment et une fonction définie sur .
De plus, pour tout entier naturel non nul , on suppose donnés des réels distincts de et on considère le polynôme interpolateur de Lagrange de associé à ces réels .
En notant les polynômes de Lagrange associés à , on a donc
et est l'unique polynôme tel que pour tout .
On s'intéresse à la convergence uniforme sur vers de la suite de polynômes pour divers exemples de fonctions .

II.B.1) Convergence uniforme vers la fonction exponentielle

Dans cette section, , où , et est la restriction à de la fonction exponentielle :
Pour tout , on considère le polynôme interpolateur comme défini par (II.2).
Q 19. Montrer que la suite converge uniformément vers sur .
Q 20. Montrer qu'il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers sur et telle que, pour tout , la fonction ne coïncide avec en aucun point de , sauf peut-être en zéro :

II.B.2) Convergence uniforme vers une fonction rationnelle

Dans cette section, est un réel strictement positif et . Soit
Q 21. Montrer que est de classe et que, pour tout dans et tout ,
Pour tout , on considère le polynôme interpolateur de sur défini par (II.2).
Q 22. Montrer que, si , la suite de polynômes converge uniformément vers sur .
II.B.3) Cas de la somme d'une série entière
Soit une série entière de rayon de convergence . On pose,
Q 23. Montrer que est de classe sur et que
Q 24. Soit . Montrer qu'il existe tel que
Q 25. En déduire que pour tout et pour tout ,
Q 26. On suppose que . Montrer que la suite de polynômes converge uniformément vers sur .

II.B.4) Interpolation aux points de Tchebychev

Cette section reprend l'étude des deux sections précédentes dans le cas de points d'interpolation particuliers, liés aux racines des polynômes de Tchebychev. On considère et .
Pour tout , les points de Tchebychev d'ordre dans sont:
On pose .
Si est une fonction définie sur et si , on définit comme au (II.2) le polynôme interpolateur de aux points de Tchebychev d'ordre .
C'est l'unique polynôme tel que pour tout .
Q 27. Pour tout , montrer que .
Q 28. On reprend dans cette question la fonction étudiée dans la section II.B. pour . Montrer que, si , la suite converge uniformément vers sur .
Q 29. On reprend dans cette question la fonction somme de série entière étudiée dans la section II.B.3. Montrer que, si , la suite converge uniformément vers sur .

III Phénomène de Runge

III.A - Étude d'une intégrale généralisée

Pour tout réel , on considère la fonction .
Q 30. Montrer que est une fonction continue décroissante intégrable sur .
On pose .
Q 31. Justifier que .
Q 32. En déduire que .
Q 33. Montrer qu'il existe tel que, pour tout .

III.B - Application à une somme de Riemann

Pour tout , on considère dans les points donnés, pour , par et on pose
Q 34. Pour tout , montrer que
Q 35. En déduire que la suite converge vers .
Q 36. Montrer que, pour , la suite diverge vers .

III.C - Le phénomène de Runge

Dans cette sous-partie et . On considère
On reprend les points définis dans la sous-partie III.B :
On note, pour le polynôme interpolateur de aux réels . Autrement dit, est l'unique polynôme de degré au plus qui coïncide avec aux points
On pose .
Q 37. Montrer que est un polynôme pair et déterminer .
Q 38. Montrer qu'il existe tel que
Q 39. En déduire que, pour tout ,
Q 40. On suppose que . Montrer que
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