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Centrale Mathématiques 2 PSI 2001

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionAlgèbre généraleGéométrie
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2001
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2001PSI MathsMaths 2001
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MATHÉMATIQUES II

Rappels, notations et objectifs du problème
Dans tout ce problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2. Toutes les matrices considérées ici sont à coefficients réels. On note :
  • l'ensemble des matrices carrées d'ordre n .
  • (resp. ) l'ensemble des matrices symétriques (resp. symétriques définies positives c'est-à-dire dont les valeurs propres sont strictement positives).
  • l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (termes sous-diagonaux nuls) et l'ensemble des matrices appartenant à dont tous les termes diagonaux sont positifs ou nuls.
  • l'ensemble des matrices triangulaires inférieures dont les termes diagonaux valent 1 . Le symbole désigne la matrice unité diag élément de .
    Pour , le terme de A situé sur la ligne i et la colonne j est noté . Dans les parties I et II seulement, si , désigne la matrice d'ordre
On confond respectivement :
  • matrice et endomorphisme de canoniquement associé.
  • vecteur de IR et matrice colonne de ses coordonnées.
  • une matrice d'ordre 1 et le réel la constituant.
Si nécessaire, IR sera muni de sa structure eudidienne rendant la base canonique orthonormale. Ainsi, si est une matrice de tandis que représente (norme euclidienne).
Le but de ce problème est d'étudier trois types de décompositions matricielles : décomposition LU (partie I), décomposition de Cholesky (partie II), décomposition QR (partie III).

Filière PSI

La partie IV utilise des décompositions des parties I à III, pour déterminer des approximations des valeurs propres d'une matrice.

Partiel -

I.A -

I.A.1) Montrer que si A appartient à est triangulaire inversible, son inverse est aussi triangulaire.
I.A.2) Montrer que ( ) est un groupe.
I.B - Soit :
I.B.1) Montrer que si A est inversible, il existe au plus un couple tel que .
Si c'est le cas, on dira que A possède une décomposition lu (l comme Lower et U comme Upper).
I.B.2) Montrer que si A est inversible et possède une décomposition LU, alors pour tout de
(on pourra utiliser une décomposition par blocs de ).
I.B.3) On suppose que et on écrit A par blocs sous la forme:
Montrer qu'il existe H dans telle que:
En posant a priori expliciter une telle matrice ainsi que son inverse, c'est-à-dire expliciter les blocs et , ainsi que les blocs correspondants de en fonction des blocs de la matrice A .
I.B.4) Montrer que si pour tout dans alors a une décomposition LU
(on pourra opérer par récurrence en utilisant unedécomposition par blocs de A ).

I.C -

I.C.1) Soit deux entiers et tel que . Montrer que l'opération élémentaire consistant à échanger les lignes et d'une matrice de correspond à la multiplication à gauche par une matrice de à déterminer.
1.C.2) Pour et , le symbole désigne le déterminant de la matrice
extraite de A . Ainsi par exemple, .
Sous les hypothèses de la question I.B.4, et notant A = LU la décomposition LU de A, trouver dans l'ordre:
a) la première ligne de ,
b) Ia première colonne de L ,
c) les éléments diagonaux de ,
d) les éléments de des colonnes
(on utilisera I.C.1) sous forme PA = PLU où est une matrice telle que la multiplication de par à gauche permute deux lignes de ),
e) les éléments de des lignes .
On montrera que pour et on donnera pour une formule analogue.

I.D - Écriture de l'algorithme

En utilisant:
  • un algorithme induit par la question I.C.2),
  • un langage de programmation (qu'on précisera) comprenant la fonction déterminant (notée det),
    écrire une procédure donnant, pour une matrice A satisfaisant aux conditions du I.B.4), les matrices et telles que .

I.E - Exemples:

I.E.1)

a) À l'aide de l'algorithme mis en place au I.D - , effectuer la décomposition LU de la matrice
en indiquant les différentes étapes et les calculs intermédiaires.
b) En déduire la résolution du système matriciel d'inconnue
è
I.E.2) Donner deux exemples de matrices de , l'une ne possédant pas de décomposition lu , l'autre en possédant plusieurs.
I.E.3) Dans cette question désigne le coefficient du binôme de Newton avec la convention si , si ou si .
a) Soient et entiers naturels. Montrer la formule deVandermonde:
(on pourra utiliser la formule du binôme de Newton).
b) Soit ; déterminer la décomposition lu de la matrice A de telle que . En déduire det .
Écrire lorsque et .

Partiell -

II.A - Soit . Montrer que A appartient à si et seulement si pour tout appartenant à non nul, .
On suppose dans le reste de cette partie II - , que .
II.A.1) Montrer que possède une décomposition lu unique notée:
ù
II.A.2) Montrer que .

II.B -

II.B.1) Montrer qu'il existe B dans telle que (on pourra modifier et et se ramener au cas de matrices triangulaires inférieure et supérieure à diagonales identiques).
II.B.2) Montrer que la décomposition obtenue à la question précédente est unique si on impose .
II.C - Si , montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
i) ,
ii) inversible telle que ,
iii) et .

Partielll -

III.A - Soit unitaire ( ). On pose (matrice de Householder) et par convention .
III.A.1) Montrer que est une symétrie orthogonale que I'on caractérisera.
III.A.2) Montrer que pour tout a dans , il existe dans tel que a soit de la forme .
III.B - Soit .
III.B.1) Montrer qu'il existe matrices de H ouseholder telles que:
III.B.2) En déduire que toute matrice de s'écrit sous la forme où est orthogonale et (on parle de décomposition QR ).
III.B.3) Montrer quesi A est inversible, il y a unicité de la décomposition.
III.C - Quel résultat de cours permet d'obtenir directement une décomposition du type QR lorsque A est supposée inversible?

PartielV -

Dans cette partie A est une matrice de inversible et possédant n valeurs propres réelles avec .
IV.A - Dans cette section, on montre des résultats préliminaires.
IV.A.1) On rappelle qu'une suite de matrice converge vers une matrice si et seulement si chaque coefficient de converge vers le coefficient de M correspondant.
Montrer quesi et sont deux suites de convergentes de limites respectives et alors la suite converge vers .
IV.A.2) Pour tout , on définit
et on admet que définit une norme dans .
a) Montrer quesi M et N sont dans , on a
b) Montrer quesi vérifie alors est inversible.
IV.A.3) J ustifier l'existence d'une matrice inversible telle que avec diagonale:
On suppose dans la suite de cette partie que possède une décomposition LU sous la forme et on pose la décomposition QR de P .
IV.B - Soit la suite d'éléments de définie par récurrence de la façon suivante:
  • ;
  • si a été construite, on pose la décomposition de ;
  • on définit .
Montrer que les matrices sont semblables à .
IV.C - Déterminer explicitement la matrice et (la matrice D est celle définie au IV.A.3)).
On posera dans la suite .
IV.D - Montrer qu'à partir d'un certain rang admet une décomposition QR unique de la forme:
où est à termes diagonaux strictement positifs.
On admet dans toute la suite que la suite converge dans .

IV.E -.

IV.E.1) Montrer que la limite de la suite est orthogonale.
IV.E.2) Montrer quela suite converge et quesa limite est dans .
IV.E.3) Déterminer Q̃ et .
IV.F - En utilisant deux compositions QR de , montrer que la suite est telle que :
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