Centrale Mathématiques 2 PSI 2005

Dans tout ce problème, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et l'ensemble des matrices carrées complexes d'ordre . De plus :

On définit de même trois types d'opérations élémentaires sur les colonnes d'une matrice.
Si et si est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opération élémentaire, alors (resp. ) est la matrice obtenue à partir de en effectuant la même opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de (on ne demande pas de démontrer ce résultat).

On confond respectivement :

On rappelle qu'une symétrie de est un automorphisme de vérifiant ; il existe alors deux sous-espaces supplémentaires et tel que soit la symétrie par rapport à parallèlement à , définie par :

Préciser la symétrie , c'est déterminer les sous-espaces et associés.
On note ( ) la propriété :

Le but de ce problème est d'étudier des matrices de vérifiant la propriété .
Après avoir établi quelques résultats préliminaires, on étudie des cas particuliers dans les parties I et II et un cas plus général dans la partie III.

a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle.
b) En déduire que s'il existe une matrice de vérifiant , alors est pair.

Dans toute la suite du problème, on suppose pair et on note avec .

I.A - Dans cette section I.A.1, on se place dans et on désigne par ( ) la base canonique, avec et .
I.A.1) On considère la matrice et on désigne par l'endo-
morphisme associé. morphisme associé.
a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de , symétrie par rapport à la droite parallèlement à la droite .
b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l'application .

En déduire qu'il existe une symétrie , qu'on précisera, telle que .
I.A.2) On considère la matrice .
a) Montrer que est semblable à et donner une matrice de à coefficients entiers et de déterminant 1 telle que .
b) Montrer que est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on précisera.

Soit et des nombres réels tels que et .
c) Montrer que est semblable à et donner une matrice de telle que .

Indication : on pourra calculer .
d) Montrer que est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.

I.A.3) On considère la matrice où et sont des nombres
réels tel que . réels tel que .
Montrer que est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu'on ne demande pas de préciser.
I.A.4) On considère à présent la matrice où et sont des nombres réels tels que . Montrer que est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie.
I.A.5) Soit appartenant à .
a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de pour que ( ) soit réalisée.
b) En supposant que vérifie ( ), et en étudiant la diagonalisation dans de , montrer qu'il existe une unique matrice, semblable à , du type avec réel et réel strictement positif. Expliciter et en fonction de et .
c) Que peut-on dire si vérifie et est dans ?
d) Montrer que est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d'une homothétie.
I.A.6) On suppose que est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. ( ) est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphismes de matrice (avec et réels tels que ) dans la base canonique?
I.B - Soit une matrice de vérifiant . Soit la matrice de définie par blocs sous la forme .
I.B.1) Montrer que est diagonalisable dans et qu'il existe une matrice de inversible, des entiers naturels et tels que soit sous la forme d'une matrice par blocs

On convient que cette matrice vaut lorsque et et qu'elle vaut lorsque et .
I.B.2) Déterminer une matrice par blocs de inversible et constituée de multiples de telle que : .
I.B.3) En déduire que est semblable dans à la matrice

I.B.4) Montrer alors que est semblable dans à une matrice du type .
I.B.5) Exemple : on considère dans la matrice

a) Déterminer une matrice inversible de telle que

b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que est la matrice, dans la base canonique de de la composée de deux symétries qu'on précisera.

II.A - Dans cette question, désigne une matrice de telle que .
II.A.1) Montrer que ( ) est réalisée.
II.A.2) Si est obtenue à partir de par utilisation d'une opération élémentaire, comment déduit-on de ?
On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :
a) ,
b) avec ,
c) avec .
II.A.3)
a) En utilisant II.A.1, montrer qu'il existe tel que .
b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe inversible telle que si alors si et .
c) Montrer alors que si et .
II.A.4) Montrer qu'il existe inversible telle que soit de la forme par blocs avec .
II.A.5) Montrer que est semblable à une matrice du type .
II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice inversible de telle que où est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées.
II.B - Dans cette question est une matrice de vérifiant avec .
II.B.1) Montrer que vérifie ( ).
II.B.2) Montrer que est semblable à la matrice d'ordre .
Que peut-on dire ?
II.C - Soit l'endomorphisme de défini par : pour tout polynôme de vérifie :

II.C.1) Déterminer pour quelles valeurs de et dans , le plan est stable par .
II.C.2) En déduire que la matrice de telle que si , les autres coefficients de étant nuls, est semblable à .

Dans toute cette partie, désigne une matrice de vérifiant .
On se propose de montrer l'équivalence entre les trois propositions suivantes :
i) est semblable à une matrice du type

ii) Il existe un polynôme réel à racines simples complexes non réelles annulé par .
iii) Tout sous-espace vectoriel de de dimension 2 stable par possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par .
III.A - Dans cette section III.A, on montre que (i) (ii).
III.A.1) Montrer que si , le polynôme ne possède que des racines simples complexes non réelles.
III.A.2) En déduire que (i) (ii).
III.B - Dans cette section III.B, on montre que (ii) (iii).

On suppose donc que vérifie (ii). Soit un sous-espace vectoriel de de dimension 2 et stable par . Soit ( ) une base que l'on complète en une base ( ) de .
III.B.1) Montrer que dans la base ( ) de , l'endomorphisme canoniquement associé à a une matrice s'écrivant par blocs :

III.B.2) Vérifier que ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que est semblable à une matrice du type avec .
III.B.3) Montrer que est inclus dans .
III.B.4) Montrer que possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par dans .
III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A. 3 et II.A.4, montrer que possède un supplémentaire stable par dans , puis conclure que iii) est réalisé.
III.C - En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) (i).

Soit

En admettant que annule , déterminer une matrice inversible de et des réels et tels que