Centrale Mathématiques 2 PSI 2007

La représentation plane de figures tridimensionnelles suppose le choix d'une application de dans , grâce à laquelle une figure devient, dans , le croquis : . Ici, on fait le choix d'une application linéaire, connue sous le nom de perspective cavalière. Toutefois, pour la commodité des calculs, on a préféré faire jouer aux vecteurs de la base canonique ( ) de des rôles différents de ceux qu'ils ont d'habitude dans ce type de perspective.
Dans tout le problème, les espaces et sont munis de leur structure euclidienne canonique orientée et pourront être considérés comme des espaces vectoriels réels de vecteurs-colonnes, ou des espaces affines réels de vecteurs-colonnes. Aussi bien pour ce qui concerne que , le produit scalaire canonique sera noté et la norme euclidienne canonique sera notée .
On donne deux réels strictement positifs et et on considère l'application, notée , de dans qui au vecteur-colonne associe . Si est une partie de , on dira qu'elle est représentée en vraie grandeur par si, quels que soient et dans , on a .

I.A.1) Montrer que est une application linéaire. Déterminer la matrice de relativement aux bases canoniques de et .
Déterminer le noyau et l'image de .

I.A.2) Représenter sur un même dessin les images par des vecteurs de la base canonique de .
Ce dessin donne une représentation en perspective de la base formée par ces trois vecteurs.

Pour cette seule question, on introduit l'endomorphisme de qui au vecteurcolonne associe .
Interpréter géométriquement grâce à (on pourra former ).
Est-il vrai que pour tout vecteur ?
I.C -
I.C.1) Soit un point et un vecteur de .

On considère la droite affine .
Montrer que .
I.C.2) Soit une droite affine de . Montrer que son image par est une droite affine ou est réduite à un point, en discutant selon un vecteur directeur de .
I.C.3) Soit et deux droites affines de dont les images par sont des droites affines de .
a) Si et sont sécantes, montrer que leurs images par le sont aussi. La réciproque est-elle vraie?
b) Si et sont parallèles, montrer que leurs images par le sont aussi. La réciproque est-elle vraie?
I.C.4) Soit un plan affine de . Discuter la nature de suivant et .

Soit un vecteur ; on pose .
I.D.1) Montrer que l'ensemble des tels que est la réunion de deux plans et que l'on caractérisera par leurs équations cartésiennes.
En déduire que les plans affines parallèles à l'un ou l'autre de ces deux plans sont représentés en vraie grandeur par .
I.D.2)
a) Montrer, en le déterminant, qu'il existe un unique endomorphisme autoadjoint
de , tel que pour tout .
b) Déterminer le polynôme caractéristique de puis le signe des valeurs propres non nulles de .

I.E.1) Soit un plan vectoriel de ; montrer qu'il existe une base orthonormale de dont les deux premiers vecteurs soient dans .
I.E.2) Soit un endomorphisme autoadjoint de ; on pose pour tout , on suppose qu'il existe , plan vectoriel de , tel que pour tout et, étant supposé choisi, on choisit comme dans la question I.E.1. Montrer que la matrice de relativement à est de la forme

I.E.3) , montrer que l'ensemble des tels que est la réunion de deux plans puis étudier le signe des valeurs propres non nulles de .
I.E.4) Discuter le rang de en fonction de .

Dans les parties II et III, on se limite au cas où et pour un supposé choisi et, étant donné, on considère la sphère d'équation cartésienne .

Le but de cette partie est d'étudier l'image de par .

II.A.1) Soit . Montrer que l'image réciproque est la droite affine passant par le point et de vecteur directeur . En conclure que

et que cela équivaut à dire que l'équation en

admet au moins une racine réelle.
II.A.2) En déduire que est définie par l'inéquation , où l'on a posé

On désigne par la partie de d'équation .
II.A.3) On considère le repère affine déduit du repère canonique de par la rotation d'angle autour de l'origine.
a) Soit un point de de coordonnées ( ) dans et de coordonnées ( ) dans .
Déterminer et en fonction de et .
b) Montrer que est une ellipse et donner son équation cartésienne dans .
c) Indiquer les éléments remarquables de : axe focal, demi-longueur des axes et excentricité. Montrer que les foyers de sont les points et dont les coordonnées relatives à sont respectivement et .
d) Déterminer une inéquation de dans le repère et en déduire que est le domaine borné limité par .
Représenter enfin soigneusement dans le repère .

II.B.1) Montrer, en le déterminant, que tout élément ne possède qu'un seul antécédent par dans .
Indication : On pourra déterminer tel que .
Cet antécédent sera noté et on désignera par l'ensemble des , lorsque décrit .
II.B.2) Pour chaque , calculer et en déduire que est inclus dans , le plan vectoriel orthogonal à .
II.B.3) Réciproquement, soit tel que . Montrer que .

Indication : On pourra calculer ou s'aider d'un dessin.
Conclure quant à la nature de . La représentation de par est-elle en vraie grandeur? Quelle conclusion peut-on en tirer en terme de représentation cavalière d'une sphère?

II.C.1) Montrer que la restriction de à est une bijection de sur .

On en notera la bijection réciproque.
II.C.2) Soit une application linéaire de sur lui-même, supposée involutive, c'est-à-dire vérifiant .
a) Montrer que est une involution linéaire de sur lui-même.
b) Comment obtient-on les sous-espaces propres de en fonction de ceux de ?
c) Montrer que laisse stable si, et seulement si, laisse stable .

On suppose donné un intervalle ouvert non vide et un arc de classe de dans . On suppose que, pour un , le vecteur-dérivée n'appartient pas à Vect . Dans ces conditions, montrer que le point est régulier pour l'arc , de dans , et donner un vecteur directeur de la tangente à l'arc en ce point.

III.B.1) Soit un réel ; montrer que l'intersection de et du plan de d'équation est le cercle paramétré par

En donner le centre et le rayon.
III.B.2) Montrer que l'intersection de et de est non vide si, et seulement si, . Montrer plus précisément que cette intersection se compose alors de deux points lorsque .
III.B.3) Soit et un point . On choisit un réel tel que . Montrer que puis que sont orthogonaux à : le vecteur , le vecteur ainsi que tout vecteur tangent en à .
III.B.4) Montrer que les , où décrit , sont des cercles et que en est la réunion.
Déterminer le centre et le rayon du cercle .
En utilisant en particulier III.A et III.B.3, montrer que, lorsque , le cercle est tangent à en deux points distincts. Étudier aussi le cas de .
III.B.5) Lorsque , montrer que et sont sécants. Lorsque , montrer que est intérieur à .

Représenter sur un même dessin : , un cercle avec , le cercle et un cercle avec .

Montrer qu'il existe une seconde famille de cercles inclus dans dont les images par soient des cercles et dont la réunion des images par soit encore .