On désigne la matrice par la notation . Ainsi diag(1, 1, 1) est la matrice identité .
L'espace vectoriel des matrices réelles , noté est muni du produit scalaire usuel .
On note la norme associée : .
On note le groupe des matrices orthogonales, l'espace des matrices symétriques, et l'ensemble des matrices symétriques positives de , c'est-à-dire des matrices symétriques dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.
Si , et est une partie non vide de , la distance de à est, par définition :

Si et sont deux parties non vides de , la distance entre et est :

On a aussi (et on l'admettra)

Partie I-Généralités sur les distances

I.A - Si

, calculer

.
I.B - Démontrer que

est une partie bornée. En déduire que

est un compact de

.
I.C - Démontrer que l'application

, de

dans

est continue.
I.D - Soit

. Démontrer qu'il existe

I.E - Soit

l'application de

dans

définie par

.
I.E.1) Soient

Démontrer que :
puis que :

I.E.2) En déduire que

est continue.
I.F - Soit

un sous-espace vectoriel de

. Si

, on pose

I.F.1) Démontrer qu'il existe

tel que

.
I.F.2) Démontrer qu'il existe

telle que

Partie II-Décomposition polaire

Soit

.
II.A - Démontrer que

est symétrique à valeurs propres positives.
II.B - Démontrer qu'il existe

symétrique à valeurs propres positives telle que

.
II.C - Démontrer que si

est inversible, il existe

telle que

On admettra que le résultat reste vrai si

est non inversible, c'est-à-dire :

, il existe

, telles que

(décomposition polaire)

.
II.D - Étude d'un exemple

On considère la matrice

.
En appliquant la méthode décrite ci-dessus déterminer

telles que

Partie III-Distance à

III.A -

III.A.1) Soient

. Démontrer que

. En déduire que, pour tout

, il existe une matrice

diagonale à coefficients positifs telle que :

III.A.2) En déduire que si

est un sous-espace vectoriel de

, il existe

sous-espace vectoriel de

vérifiant :

Il existe où les sont dans , telle que .
III.B - Soit , où les sont dans .
III.B.1) Si , montrer que .
III.B.2) Si , montrer que .
III.B.3) En déduire que .

III.C - Étude d'un exemple

Pour la matrice

définie dans la question II.D, calculer la distance

Partie IV - Cas d'un sous-espace de dimension 6

IV.A - Dans cette question seulement,

.
IV.A.1) Soit

. En considérant les valeurs propres de

, démontrer l'inégalité :

.
IV.A.2) Calculer

, puis en déduire la valeur de

Dans toute la suite du problème

désigne un sous-espace vectoriel de dimension 6 quelconque de

. On se propose de démontrer que

À l'aide de la partie III, on se ramène au cas où

, avec

On suppose

, sinon,

, et l'inégalité est vraie.
Pour

, on note

,
et

IV.B - Comparer

.
IV.C - Vérifier que

est une famille libre formée de matrices orthogonales à

.
Démontrer qu'il existe

non tous nuls tels que

sont ainsi fixés pour la suite, et on pose

.
IV.D - Démontrer que

a un développement limité du type :

avec

où

vérifient :

orthogonale à
.

Dans la suite,

est la fonction apparaissant dans ce développement limité de

.
IV.E - Justifier que :

.
IV.F - Établir que :

avec

. Qu'en déduire sur

?
IV.G - Démontrer que l'un au moins des trois réels

est négatif ou nul.
On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que

.
IV.H - Démontrer que

.
IV.I - Identifier géométriquement les ensembles suivants :

Justifier que

est un cercle dont on déterminera le rayon.
Quel est le diamètre de

(c'est-à-dire la distance maximum entre deux de ses points)?
IV.J - Démontrer que