Centrale Mathématiques 2 PSI 2009

Dans le problème, désigne l'ensemble des nombres réels; désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels. L'espace vectoriel euclidien est muni du produit scalaire usuel. On identifie l'espace vectoriel et l'espace des matrices colonnes réelles d'ordre .

On peut ainsi écrire le produit scalaire de deux vecteurs et de sous la forme et la norme sous la forme .
Pour des réels, on note la matrice diagonale avec comme coefficients diagonaux.
On note l'ensemble des matrices orthogonales de .
Si est une base de , on note le vecteur de de coordonnées dans la base .
Si et sont deux bases de , on note la matrice de passage de vers .
Si est un endomorphisme de , on note la matrice de l'endomorphisme par rapport à la base au départ et à l'arrivée, c'est-à-dire la matrice
dont les colonnes sont les vecteurs .
En particulier, si , on note la matrice de l'endomorphisme dans la base .

Soit un entier et deux matrices appartenant à .
On propose de démontrer que et ont les mêmes valeurs propres avec le même ordre de multiplicité.
I.A - Cas de la valeur 0.
I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de si, et seulement si, .
I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de si, et seulement si, 0 est valeur propre de .
I.B - Soit une valeur propre réelle non nulle de un vecteur propre de associé à cette valeur propre .
I.B.1) Démontrer que les vecteurs et sont non nuls.
I.B.2) Démontrer que le vecteur est vecteur propre pour la matrice .
I.B.3) Démontrer que et ont les mêmes valeurs propres réelles.
I.C - On suppose que est inversible. On note la matrice identité d'ordre .
I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice , démontrer que pour tout réel ou complexe, on a : .
I.C.2) En déduire que et ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité.

On admet que ce résultat est encore vrai si n'est pas inversible.

Dans cette partie II, on fixe un entier , une matrice appartenant à et on pose .
On note et les deux endomorphismes de dont les matrices dans la base canonique sont respectivement et .
II.A - Diagonalisation de et .
II.A.1)
a) Démontrer que pour tout .
b) On suppose que est tel que .

Calculer et en déduire que .
c) En déduire que puis que .
II.A.2) Démontrer que et sont deux matrices symétriques.
II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu'il existe et diagonale telles que

On pose
II.A.4) Démontrer que possède exactement termes diagonaux non nuls.

On suppose par la suite que sont non nuls et donc

II.A.5)
a) En utilisant , démontrer qu'on peut écrire sous la forme , avec .
b) Démontrer que .

Pour , on appelle «valeurs singulières de » les nombres définis .
II.A.6) Soient .

Démontrer que les valeurs singulières de sont exactement celles de .
II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que est une matrice symétrique réelle.
Déterminer les valeurs singulières de en fonction des valeurs propres de .
II.B - On rappelle que et et dans cette section, on note .
II.B.1) Justifier l'existence d'une base orthonormée de notée telle que :

Démontrer qu'il existe deux matrices et dans telles que:
sont les valeurs singulières de .
II.C.2) Soient deux matrices réelles. Démontrer que :
et ont les mêmes valeurs singulières .

Dans cette partie, on pose .
On note l'endomorphisme de canoniquement associé à et la base canonique de .
III.A - Dans cette section, on utilise les notations et résultats de la partie II.
III.A.1) Déterminer le rang de et calculer .
III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de que l'on notera .
III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de que l'on notera .
On rangera les vecteurs dans l'ordre décroissant des valeurs propres correspondantes.
III.A.4) Déterminer une base orthonormée telle que

III.A.5) Démontrer que .

On pose pour la suite et .
III.B - On étudie la partie de définie par

C'est donc l'ensemble décrit par quand décrit l'ensemble des vecteurs de norme 1 (sphère unité de ).
III.B.1) Démontrer que est une partie d'un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne.
III.B.2) Démontrer que .
III.B.3) Démontrer que dans une base adaptée à déterminer,

III.B.4) Préciser la nature géométrique de l'ensemble .

Dans cette partie, comme dans la Partie III, est une matrice de et on étudie l'ensemble .

Dans cette section on suppose que .
IV.A.1) Démontrer que admet trois valeurs singulières strictement positives, distinctes ou non.
IV.A.2) Démontrer qu'il existe une base orthonormée de notée telle que :

IV.A.3) Préciser la nature géométrique de .

Dans cette section, on suppose que .
IV.B.1) Démontrer qu'une seule des valeurs singulières de est non nulle. On la note .
IV.B.2) Démontrer que est un segment dont on donnera la longueur.

Soit un entier, et , qu'on écrit, comme dans la Partie II, sous la forme , où sont deux matrices orthogonales et des réels strictement positifs.
On définit le pseudo-inverse de par

On pose .
V.A - Démontrer que .
V.B - Simplifier le produit matriciel et en déduire que, si est une matrice inversible, .
V.C - On note et les endomorphismes dont les matrices dans la base canonique sont respectivement et .
Démontrer que est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang.
V.D - Démontrer que .
V.E - Soit fixé.

On considère le système linéaire , où est l'inconnu. On suppose que ce système n'a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs tels que la norme de soit minimale.
Démontrer que est l'un de ces vecteurs.