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Centrale Mathématiques 2 PSI 2011

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensGéométrieRéductionAlgèbre linéaireTopologie/EVN

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Centrale PSI Centrale 2011 PSI Maths Maths 2011

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Représentation connaissant les distances mutuelles

Notations

Dans tout le problème,

désignent des entiers naturels

.
On note la matrice colonne

.
On définit les deux matrices suivantes de

On considère l'espace vectoriel

muni du produit scalaire canonique que l'on notera

et l'espace de matrices

muni du produit scalaire (

) défini par

On note

la norme euclidienne associée au produit scalaire

la norme euclidienne sur

associée au produit scalaire

désigne le sous-espace de

des matrices symétriques réelles et

le sous-ensemble de

des matrices à valeurs propres positives ou nulles.

désigne l'ensemble des matrices orthogonales de

I Centrage de matrices

- Soit

l'endomorphisme de

dont la représentation dans la base canonique est la matrice

Montrer que

est un projecteur orthogonal et en préciser les éléments caractéristiques.

- On considère l'endomorphisme

défini par :

I.B.1) Montrer que

est un projecteur orthogonal dans l'espace euclidien (

).
I.B.2) Montrer que

Soit

. On pose

Montrer que

II Produit scalaire à partir des distances mutuelles (relation de Torgerson)

Soient

éléments de

vérifiant

.
Géométriquement,

désignent des points d'isobarycentre l'origine.
On définit la matrice des distances mutuelles au carré, élément de

, de la façon suivante :

On note

la matrice de

admettant pour vecteurs colonnes les éléments

. (On pourra noter commodément

.
II.A - Montrer que

II.

- En déduire, pour tout couple

, une expression du produit scalaire

en fonction de

et de

(relation de Torgerson).
Ainsi la matrice des distances mutuelles au carré permet de retrouver la matrice des produits scalaires

III Condition pour qu'une matrice soit une matrice de distances mutuelles au carré

Soit

telle que pour tout couple

.
III.A - On suppose dans cette question qu'il existe

éléments de

tels que pour tout

.
III.A.1) Montrer que les valeurs propres de

sont toutes réelles et négatives ou nulles.
III.A.2) On suppose de plus (quitte à effectuer une translation) que les

sont centrés, c'est-à-dire que

.
Montrer que

et que

.
III.B - Réciproquement, on suppose que les valeurs propres de

sont toutes négatives ou nulles et on pose

.
III.B.1) Montrer qu'il existe une matrice

telle que

.
III.B.2) On note

les colonnes de la matrice

On cherche à montrer que pour tout

.
a) Montrer que les

sont centrés, c'est-à-dire que

.
b) Montrer que la matrice

définie par :

vérifie

.
c) Montrer que

et conclure.

IV Étude d'un exemple dans l'espace

Dans cette partie, on considère quatre points distincts

dans l'espace euclidien canonique

tels que

. On pose

.
On se propose de trouver une condition nécessaire et suffisante sur

pour que ces quatre points existent, dans un premier temps par un raisonnement géométrique puis en utilisant les résultats des parties précédentes.

IV.A - Étude géométrique

On suppose que les quatre points

existent.
IV.A.1) On suppose que les quatre points

sont coplanaires. Quelle relation vérifient alors a et

?
IV.A.2) On suppose que les quatre points distincts

ne sont pas coplanaires. On note

le milieu de

.
a) Montrer que (

) est la perpendiculaire commune aux droites (

) et (

).
b) En projetant les points

sur le plan contenant (

) et perpendiculaire à (

), montrer que

.
On étudie maintenant la réciproque.
IV.A.3) Montrer que si des réels strictement positifs

vérifient la relation

, alors il existe bien quatre points distincts

dans l'espace euclidien canonique

vérifiant

IV.B - Étude algébrique

On se propose de retrouver les résultats précédents en utilisant les parties II et III.
Pour simplifier l'écriture des relations, on notera

les quatre points

de l'espace

vérifiant

.
IV.B.1) On reprend les notations des parties précédentes avec ici

On pose

.
Écrire la matrice

puis calculer

.
IV.B.2) Montrer que les vecteurs

forment une base de vecteurs propres de la matrice

et déterminer les valeurs propres de la matrice

.
IV.B.3) Déterminer le rang de

selon les valeurs prises par

.
IV.B.4) Quelle égalité vérifie les réels

lorsque les points

sont coplanaires?
IV.B.5) Retrouver que les réels strictement positifs

vérifient

.
IV.B.6) Réciproquement, si

, donner une famille de points

vérifiant les contraintes de distances mutuelles.

V Cas où il n'existe pas de points représentant une matrice de distances mutuelles

On considère dans cette partie une matrice

telle que pour tout

.
On suppose que

possède au moins une valeur propre strictement négative. Dans la suite, on étudie trois transformations permettant de modifier «légèrement» la matrice

pour obtenir une nouvelle matrice de distances mutuelles au carré.

V.A - Par les moindres carrés

V.A.1) On cherche à prouver qu'il existe une unique matrice symétrique

à valeurs propres positives ou nulles qui minimise

lorsque

décrit

.
a) Montrer que

b) Justifier l'existence d'une matrice

telle que la matrice

soit diagonale.
c) Montrer qu'une condition nécessaire pour que

minimise

lorsque

décrit

est que la matrice

soit diagonale.
d) Prouver l'existence et l'unicité de la matrice

cherchée.
V.A.2) On suppose dans cette question que

est non nulle. On veut montrer qu'il existe un entier

minimal que l'on précisera tel que l'on puisse déterminer des vecteurs

éléments de

satisfaisant la condition

et pour lesquels la matrice

vérifie la relation

.
On reprend les notations de la partie II et on note

.
a) Montrer que l'entier

vérifie

et que

.
b) Construire une matrice

telle que

pour

Indication. En supposant que

soit de la forme

avec

, diagonale à valeurs non nulles, on cherchera

sous la forme

avec

, diagonale.
c) Montrer que

(on pourra étudier le vecteur

).
d) En déduire que

avec

et conclure.

V. - Par décalage de la distance au carré

On pose

avec

un nombre réel strictement positif.
V.B.1) Soit

. Montrer que l'hyperplan

de vecteur normal

(et d'équation

) est stable par l'endomorphisme canonique associé à la matrice

.
V.B.2) Exprimer la matrice

en fonction des matrices

et du réel

.
V.B.3) Montrer qu'il existe un réel

minimal que l'on précisera en fonction des valeurs propres de

, tel que la matrice

soit à valeurs propres positives ou nulles.

V.C - Par décalage de la distance (résultat dû à F. Cailliez, 1983)

On pose

. On cherche à construire une matrice

avec

telle que

soit à valeurs propres positives ou nulles.
V.C.1) Montrer que, pour tout

.
V.C.2) Montrer que si

désignent les valeurs propres minimales respectives de

, alors

(L'hyperplan

a été défini à la question V.B.1.)
V.C.3) En déduire que pour

est à valeurs propres positives ou nulles et que pour tout

et pour tout vecteur non nul

.
V.C.4) Nous allons chercher la constante

minimale (si elle existe) vérifiant

est à valeurs propres positives ou nulles,
pour tout et pour tout vecteur non nul .

On sait que

est majoré par

.
On considère

et on définit l'application

Montrer qu'il existe

tel que

.
On notera

.
V.C.5) Montrer que

,
est à valeurs propres positives ou nulles,
pour tout et pour tout vecteur non nul .

En conclure que

V.C.6) Calcul de

a) Montrer que

On pose

.
b) Montrer que le vecteur colonne

est vecteur propre de la matrice de taille

et que

est valeur propre de cette matrice.
V.C.7) On considère

une valeur propre réelle de la matrice

un vecteur propre associé.
a) Montrer que

et que

. En conclure que

.
b) Quelle conclusion en déduit-on sur le calcul de la plus petite constante additive

Ce sujet s'inspire des techniques du «positionnement multidimensionnel» (Multi Dimensional Scaling en anglais) dans le domaine de l'analyse des données (une branche des mathématiques). Ces méthodes furent particulièrement utilisées avec les avancées de l'informatisation en psychométrie et en biologie (en écologie des populations pour visualiser les associations entre espèces par exemple).