Centrale Mathématiques 2 PSI 2012

On note le corps des nombres réels. Si est un entier positif, on munit l'espace vectoriel du produit scalaire canonique, noté pour . On note la norme associée.
On note l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels. On assimile à l'espace des vecteurs colonnes d'ordre et à son algèbre d'endomorphismes. Ainsi . On note la matrice unité de .
Si , on note la somme de ses éléments diagonaux : . On rappelle que est égale à la somme des valeurs propres complexes de comptées avec leurs ordres de multiplicité.
Si , le polynôme caractéristique de est .
Si , on définit qui est une partie de .
Les parties ainsi que les questions ne sont pas indépendantes.

Soit .
I. - Démontrer que les valeurs propres réelles de sont dans .
I. - I.B.1) Démontrer que les éléments de la diagonale de sont dans .
I.B.2) En considérant la matrice

montrer que les éléments avec ne sont pas nécessairement dans .
I. - On considère deux nombres réels et , avec . Soient et deux vecteurs de norme 1 tels que .
I.C.1) Démontrer que et sont linéairement indépendants.
I.C.2) On pose pour .

Démontrer que la fonction est définie et continue sur l'intervalle [ 0,1 ].
I.C.3) En déduire que le segment est inclus dans .
- Démontrer que si alors .
I.E - Soit Q une matrice orthogonale réelle. Démontrer que R (A) = R ( ).
I.F - On considère les conditions suivantes :
(C1)
(C2) Il existe une matrice orthogonale réelle telle que la diagonale de la matrice soit de la forme
I.F.1) Démontrer que la condition (C2) implique la condition (C1).
I.F.2) On suppose que .

Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que

où est une matrice de format un vecteur colonne à éléments et un vecteur ligne à éléments .
I.F.3) Démontrer que si la matrice est symétrique il en est de même pour la matrice ci-dessus.
I.F.4) Démontrer que .
I.F.5) En déduire que si est symétrique, la condition (C1) implique la condition (C2)

On pourra raisonner par récurrence sur .

Dans toute cette partie et désignent des matrices symétriques réelles de . On note (resp. ) les valeurs propres de (resp. ).
De plus on dira qu'une matrice symétrique est positive, ce que l'on notera , si et seulement si toutes ses valeurs propres sont .
II.A - Démontrer que .
II.B - On considère l'ensemble défini par l'équation .
II.B.1) Caractériser les conditions sur les pour lesquelles cet ensemble est :
a) vide ;
b) la réunion de deux droites;
c) une ellipse;
d) une hyperbole.
II.B.2) Réprésenter sur une même figure les ensembles obtenus pour diagonale avec et .
II. Démontrer que .

On pourra utiliser une matrice orthogonale telle que soit une matrice diagonale, pour obtenir avec .
II.D - On pose

et on suppose .
II.D.1) Démontrer que .
II.D.2) Démontrer que pour tout vecteur .
II.D.3) Démontrer que et .
II.D.4) Soit symétrique. Démontrer que :

II.E - On pose

On suppose dans cette section que et .
II.E.1) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz aux vecteurs ( ) et ( ), démontrer que

II.E.2) En calculant , en déduire que

II.F - On suppose dans cette sous-partie et et .
II.F.1) Démontrer que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E. 2 si et seulement si les vecteurs ( ) et ( ) sont liés, ainsi que les vecteurs ( ) et ( ).
II.F.2) Démontrer alors que l'on a l'égalité dans la formule de la question II.E. 2 si et seulement si les matrices et sont proportionnelles ( pour un ).
II. - On considère la relation suivante sur l'ensemble des matrices symétriques réelles de format ( 2,2 ) : on dit que si et seulement si la matrice symétrique vérifie .
Démontrer que la relation ci-dessus est bien une relation d'ordre sur les matrices symétriques réelles de format .
- On considère une suite

de matrices symétriques de . On suppose que la suite est croissante et majorée pour la relation d'ordre définie à la question précédente.
II.H.1) Démontrer que pour tout vecteur , la suite est croissante majorée.
II.H.2) Démontrer que les suites et sont croissantes majorées.
II.H.3) En considérant le vecteur , démontrer que la suite de matrices est convergente dans , c'est-à-dire que les suites et sont convergentes dans .

Dans cette partie toutes les matrices sont de format ( ), où est un entier supérieur ou égal à 2 . On dit qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
III. A - Soit une matrice symétrique définie positive. Démontrer qu'il existe une matrice inversible telle que .
III.B - Soient une matrice symétrique définie positive et une matrice symétrique. Démontrer qu'il existe une matrice inversible telle que :

où désigne la matrice identité et une matrice diagonale.
III. - Soient et deux matrices symétriques définies positives.
III.C.1) Démontrer que : .
III.C.2) En déduire que .
III. - Soient un nombre réel strictement positif, un nombre réel tel que .

Démontrer que : .
III. - Soient et deux matrices symétriques définies positives, et deux nombres réels tels que ; démontrer que :

III. F - Pour , soient des matrices symétriques définies positives et des nombres strictement positifs tels que . Démontrer que

On pourra raisonner par récurrence sur .