Centrale Mathématiques 2 PSI 2017

L'objectif du problème est l'étude de l'évolution de certains systèmes (discrets ou continus) à coefficients périodiques, dans le cadre de la théorie de Floquet. Dans la première partie on démontre quelques propriétés des suites complexes périodiques et des normes matricielles. La théorie de Floquet est introduite dans la partie II à travers l'étude de suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients périodiques. Dans la partie III, le résultat est généralisé au cas des suites vectorielles. Une approche du cas continu est proposée dans la partie IV. La partie V est consacrée à la preuve d'un lemme nécessaire à la partie III ; en dehors de cette finalité elle est indépendante des autres parties.

On rappelle que est une norme sur et que est une norme sur .

- Une suite est dite périodique s'il existe un entier tel que, est alors une période de la suite ( ) qui est dite -périodique.
I.A.1) Vérifier qu'une suite périodique est bornée.
I.A.2) Que peut-on dire des suites 1 -périodiques ?
I.A.3) Vérifier que, si est -périodique, alors .
I.A.4) Que peut-on dire des suites qui sont à la fois périodiques et convergentes ?
I.B - Vérifier les deux propriétés suivantes.
I.B.1)
I.B.2)

II. - Dans cette sous-partie II.A, est un nombre réel non nul. On note Sol(II.1) l'ensemble des suites complexes vérifiant la relation de récurrence

II.A.1) Donner la forme générale des suites appartenant à Sol(II.1) en fonction des racines complexes et de l'équation . Que valent et ?
II.A.2) Montrer que si , la suite nulle est la seule solution périodique de (II.1).
II.A.3) Montrer que si alors, (II.1) admet une infinité de solutions constantes et une infinité de solutions non bornées.
II.A.4) Montrer que si alors, (II.1) admet une infinité de solutions 2 -périodiques et une infinité de solutions non bornées.
II.A.5) On suppose dans cette question que est un entier supérieur ou égal à 3 . Donner une valeur de pour laquelle toutes les solutions de l'équation (II.1) sont -périodiques.
II.B - Dans toute la suite de cette partie, on suppose que est un entier supérieur ou égal à 2 , que et sont deux suites de nombres réels -périodiques et que . On note II.2) l'ensemble des suites complexes qui vérifient la relation de récurrence

II.B.1) Justifier que l'application est un isomorphisme de -espaces vectoriels.
II.B.2) On se fixe et , deux suites solutions de (II.2).

On pose pour tout . Montrer que la suite est constante.
II.B.3) Montrer que les deux suites et forment une base de II.2 si et seulement si .
II.C - À toute suite complexe , on associe la suite d'éléments de définie par

Démontrer que la suite est solution de (II.2) si et seulement si la suite est solution d'un système (II.3) de la forme

Préciser la matrice .
II.D - On note dorénavant . On se fixe dans cette sous-partie une solution de (II.3).
II.D.1) Démontrer que .
II.D.2) Démontrer que, pour tout entier naturel et tout entier naturel ,

II.E.1) Démontrer que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période si et seulement si 1 est une valeur propre de .
II.E.2) En déduire que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période si et seulement . Démontrer que dans ce cas, ou bien toutes les solutions de (II.2) sont périodiques de période , ou bien (II.2) admet une solution non bornée.

On pourra démontrer qu'il existe une matrice et un nombre complexe tels que et, dans le cas où , considérer la suite de Sol(II.2) dont l'image par est le vecteur .
II.E.3) Montrer que si , alors toute solution de (II.2) est bornée.

Soient et deux entiers supérieurs ou égaux à 2 .
On se fixe dans toute cette partie une suite de matrices de que l'on suppose -périodique, c'est-à-dire telle que .
On note (III.1) l'ensemble des suites de vecteurs de vérifiant la relation de récurrence

III. - Justifier qu'on définit une suite de matrices de en posant et que III.1 si et seulement si .
III.B -
III.B.1) Démontrer que .

La matrice est appelée matrice de Floquet de l'équation (III.1) et ses valeurs propres complexes sont appelées les multiplicateurs de Floquet de (III.1).
III.B.2) Soit un multiplicateur de Floquet de (III.1).
a) Démontrer qu'il existe une solution de (III.1) non nulle vérifiant .
b) Soit une telle solution, démontrer que, si .

Dans toute la suite de cette partie III, on note une matrice appartenant à et vérifiant (l'existence d'une telle matrice sera démontrée dans la partie V ).
III. - Démontrer qu'il existe une unique suite , périodique de période , telle que

III.D - Soit une solution de (III.1).
III.D.1) Justifier l'existence de . Montrer que pour tout .
III.D.2)
a) Démontrer que si , alors .
b) Démontrer que si la suite est bornée, alors la suite est également bornée.
III.E - On suppose toujours que est un entier supérieur ou égal à 2 .
III.E.1) Soit un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à racines simples. Démontrer que le polynôme est à racines simples si et seulement si .
III.E.2) En déduire que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.
III.E.3) On suppose que est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1. Démontrer que pour toute solution de (III.1), .

Soient une fonction continue, périodique de période et une fonction de classe

On s'intéresse au système différentiel homogène d'inconnue

On se fixe . On note et les deux solutions du système différentiel
(IV.1) vérifiant et .
IV.A -
IV.A.1) On considère le système différentiel linéaire (IV.2) dont les solutions sont des fonctions de classe à valeurs dans

Pour tout , on pose . Vérifier que est la solution de (IV.2) vérifiant .
IV.A.2) Réciproquement, si est une solution de (IV.2) et , démontrer que la fonction est une solution de (IV.1).
IV.B -
IV.B.1) Soit et . On suppose que . Montrer que la fonction : est nulle. En déduire que pour tout réel est inversible.
IV.B.2) Soit une solution du système (IV.2).

Montrer que pour tout réel .
IV.B.3) Déduire de la question précédente qu'il existe une unique matrice indépendante de telle que pour tout réel .
s'appelle la matrice de Floquet du système (IV.1) et les valeurs propres complexes de s'appellent les multiplicateurs de Floquet de (IV.1).

IV.C.1) Soit un multiplicateur de Floquet de (IV.1), c'est-à-dire une valeur propre de , et un vecteur propre de associé à cette valeur propre. On note .
a) Démontrer que .
b) Démontrer qu'il existe un nombre complexe et une fonction non nulle et -périodique telle .
IV.C.2) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système différentiel (IV.1) admette une solution non nulle périodique de période .
IV.C.3) On suppose que la matrice est diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système différentiel (IV.1) admette une solution non bornée sur .
On pose pour tout et on note et les multiplicateurs de Floquet de (IV.1).
IV.D.1) Montrer que pour tout réel .
IV.D.2) En déduire que .

On se fixe un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Pour toute matrice de , on appelle racine -ième de toute matrice de vérifiant . Le but de cette partie est de prouver l'existence d'une telle matrice.
On rappelle le résultat suivant relatif au produit de deux matrices triangulaires par blocs.
Pour toutes matrices et de , toutes matrices et de et tous nombres complexes et :

Soient et .
Démontrer que, pour tout entier on a : où .
- On notera dans toute cette sous-partie , l'ensemble des racines -ièmes de l'unité différentes de 1 .
V.B.1) Soient et des nombres complexes non nuls. On suppose que , ce qui signifie que, soit , soit . Démontrer que le nombre complexe est non nul.
V.B.2) Soit une matrice de triangulaire supérieure et inversible. Soit un nombre complexe non nul. On suppose que, pour tout . Démontrer que la matrice est inversible.
V.B.3) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure et inversible admet au moins une racine -ième triangulaire supérieure.

On pourra prouver par récurrence sur la propriété suivante :

V.B.4) Démontrer que toute matrice inversible de admet au moins une racine -ième.