Centrale Mathématiques 2 PSI 2019

La partie I de ce problème permet de démontrer quelques résultats sur les matrices et les endomorphismes nilpotents et aborde l'étude de cas particuliers qui seront généralisés dans la partie II.

Dans tout le sujet, désigne un entier naturel non nul et un -espace vectoriel de dimension .
Si , on note la transposée de la matrice .
Si est une matrice de , on définit la suite des puissances de par et, pour tout entier naturel .

De même, si est un endomorphisme de , on définit la suite des puissances de par et, pour tout entier naturel .

Une matrice est dite nilpotente s'il existe un entier naturel tel que . Dans ce cas, le plus petit entier naturel tel que s'appelle l'indice de nilpotence de .

Soit une base de , un endomorphisme de est nilpotent d'indice si sa matrice dans est nilpotente d'indice .

On pose et, pour .
Si et , on note , la matrice diagonale par blocs

Plus généralement, si , on note

Q 1. Que peut-on dire d'un endomorphisme nilpotent d'indice 1 ?

On suppose que . Soit un endomorphisme de nilpotent d'indice .
Q 2. Montrer qu'il existe un vecteur de tel que .
Q 3. Vérifier que la famille est libre. En déduire que .
Q 4. Montrer que .
Q 5. Construire une base de dans laquelle la matrice de est égale à .
Q 6. En déduire que les matrices nilpotentes de sont exactement les matrices de trace nulle et de déterminant nul.

On suppose que . Soit un endomorphisme de nilpotent d'indice 2 et de rang .
Q 7. Montrer que et que .
Q 8. On suppose que . Montrer qu'il existe des vecteurs de tels que est une base de .

Q 9. Donner la matrice de dans cette base.
Q 10. On suppose . Montrer qu'il existe des vecteurs de et des vecteurs appartenant à tels que est une base de .

Q 11. Quelle est la matrice de dans cette base ?

Dans cette sous-partie, désigne une matrice de .
Q 12. Montrer que, si est nilpotente, alors 0 est l'unique valeur propre de .
Q 13. Quelles sont les matrices de à la fois nilpotentes et diagonalisables ?
Q 14. Montrer qu'une matrice est nilpotente si, et seulement si, son polynôme caractéristique est égal à .
Q 15. Montrer la réciproque de la question 12.
Q 16. Montrer qu'une matrice triangulaire de à diagonale nulle est nilpotente et qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle.

Q 17. Démontrer que, si est une matrice nilpotente d'indice , alors tout polynôme de multiple de est un polynôme annulateur de .

On suppose que est un polynôme annulateur de nilpotente.
Q 18. Démontrer que 0 est racine de .
Q 19. On note la multiplicité de 0 dans , ce qui permet d'écrire où est un polynôme de tel que . Démontrer que est inversible puis que est un multiple de dans .

Pour une matrice donnée, on dit qu'une matrice est une racine carrée de si . On se propose d'étudier l'existence et les valeurs de racines carrées éventuelles de certaines matrices nilpotentes.
I.D.1) On note et l'endomorphisme de canoniquement associé à .

Q 20. Calculer la trace et le rang de . En déduire, sans aucun calcul, le polynôme caractéristique de . Montrer que est nilpotente et donner son indice de nilpotence.

Q 21. Démontrer que est semblable à la matrice . Donner la valeur d'une matrice inversible telle que .

On cherche à déterminer l'ensemble des matrices telles que . On note l'endomorphisme canoniquement associé à .

Q 22. Démontrer que et sont stables par et que est nilpotent.
Q 23. En déduire l'ensemble des racines carrées de .
On pourra considérer .
I.D.2) On se propose dans cette question d'étudier l'équation matricielle .

Q 24. Soit une solution de cette équation. Donner les valeurs de et , puis l'ensemble des solutions de l'équation.
I.D.3) Plus généralement, soit une matrice nilpotente d'indice . On se propose d'étudier l'équation .

Q 25. Montrer que, si , alors il n'existe aucune solution.
Q 26. Pour toute valeur de l'entier , exhiber une matrice , nilpotente d'indice et admettant au moins une racine carrée.

On cherche dans cette partie à généraliser les résultats des sous-parties I.A et I.B.

On suppose . Soit un endomorphisme de nilpotent d'indice .
Q 27. Démontrer que est stable par et que l'endomorphisme induit par sur est nilpotent. Préciser son indice de nilpotence.

Q 28. Pour tout vecteur non nul de , on note l'espace vectoriel engendré par les ; démontrer que est stable par et qu'il existe un plus petit entier tel que .

Q 29. Démontrer que est une base de et donner la matrice, dans cette base, de l'endomorphisme induit par sur .

Q 30. Démontrer par récurrence sur qu'il existe des vecteurs de tels que .
On pourra appliquer l'hypothèse de récurrence à l'endomorphisme induit par .
Q 31. Donner la matrice de dans une base adaptée à la décomposition .

On appelle partition de l'entier toute suite finie telle que

On note l'ensemble des partitions de l'entier . Ainsi, .
Soit un endomorphisme de nilpotent d'indice et de rang .
Q 32. Montrer qu'il existe une partition de et une base de dans laquelle la matrice de est égale à la matrice .

Q 33. Soit un entier naturel non nul. Calculer le rang de pour tout entier naturel . En déduire que est nilpotente et préciser son indice de nilpotence.

Q 34. En déduire la valeur de .
Q 35. Pour , on note . Démontrer que .
Q 36. Démontrer que, pour tout , l'entier est égal au nombre de blocs dont la taille est supérieure ou égale à .

Q 37. Donner la valeur de l'entier , nombre de blocs intervenant dans .
Q 38. Pour tout entier compris entre 1 et , exprimer le nombre de blocs de taille exactement égale à .

Q 39. On suppose qu'il existe une partition de l'entier et une base de telles que la matrice de dans soit égale à . Montrer que .

Q 40. Quel est le cardinal maximal d'un ensemble de matrices nilpotentes, toutes de même taille , telles qu'il n'y ait pas dans cet ensemble deux matrices semblables ?

Q 41. Soient la matrice et l'endomorphisme canoniquement associé à . Déterminer la partition de l'entier 5 associée à et donner la matrice .

Q 42. À l'aide du résultat de la question 31, démontrer que si est nilpotente, alors et sont semblables.

Q 43. À l'aide du résultat de la question 15 , démontrer que si et sont semblables, alors est nilpotente.

Pour , on note l'ensemble des partitions dont le premier terme est inférieur ou égal à et le cardinal de ; on pose .

Q 44. Calculer .
On se propose de montrer que, si , alors .
Q 45. Démontrer que cette égalité est vraie pour .
Q 46. Pour , vérifier que . Conclure.
Q 47. Calculer les pour en présentant les résultats sous la forme d'un tableau.
Q 48. Écrire une fonction Python qui prend en argument un entier et qui renvoie .
Q 49. Comparer ce résultat à celui de la question 40.