Centrale Mathématiques 2 PSI 2025

Le 23 février 1913 Srinivasa Ramanujan écrivit une lettre au mathématicien Godfrey Hardy dans laquelle il présenta une théorie selon laquelle la somme infinie vaut . S'en est suivi tout un ensemble de recherches sur ce sujet...
L'objectif de ce problème est de présenter quelques situations où l'on attribue une valeur finie à "une somme infinie". On s'interesse en particulier au cas de la série de terme général . Dans la première partie sont présentées deux situations qui dans les deux cas font apparaître la valeur , ce qui montre que cette valeur ne semble pas être fortuite. La deuxième partie traite plus particulièrement de la façon dont Ramunajan a étudié les sommes infinies en s'appuyant sur la formule de Euler-Maclaurin. La valeur qu'il octroie à ces sommes étant en quelque sorte un terme de compensation entre une somme et une intégrale. Enfin la troisième partie consiste à établir des développements dits tayloriens généralisés.

On note, pour tout la partie entière de . On rappelle qu'il s'agit de l'unique entier qui satisfait .
On dira qu'une fonction définie sur est à support compact dans lorsqu'il existe un réel tel que pour tout .

Soit la fonction définie par , où .
Q1. Déterminer l'ensemble de définition de puis calculer pour tout .
Q2. Montrer que est de classe sur et calculer pour tout .
Q3. À l'aide de développements limités en 0 , déterminer trois constantes réelles et telles qu'au voisinage de 0 .

Q4. En déduire .

On considère dans cette partie une fonction de classe à support compact dans et telle que . Soit telle que soit nulle sur . On pose la fonction telle que pour tout . On peut alors observer que ainsi que toutes ses dérivées sont nulles sur .

Dans cette sous-partie désigne une fonction définie de classe sur un segment et est un réel strictement positif.

Q5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels tels que .
Q6. Montrer que pour tout .
Q7. Montrer que .
Q8. Montrer que .

Soit un réel strictement positif.
On pose, pour tout , pour tout . On admet la formule de Taylor avec reste intégral : pour toute fonction de classe sur , pour tout , pour tout , .

Q9. Déterminer ainsi que .
Q10. Déterminer ainsi que les valeurs de et de .
Q11. Montrer que pour tout , pour tout , pour tout .
Q12. Montrer que pour tout , pour tout .
Q13. Montrer que pour tout , pour tout .
Q14. Montrer que pour tout , pour tout ,

Q15. En déduire que

Q16. Montrer que .
Q17. En déduire que .

Q18. Déterminer .
Q19. Montrer que .
Q20. En déduire que qu'il existe un réel tel que .

On considère une fonction de classe sur .

On considère la famille de polynômes de sorte que , pour tout et .
On admet dans cette partie l'existence et l'unicité des polynômes . On pose pour tout et la fonction 1 -périodique de sorte que soit égale à sur . Autrement dit, pour tout .
On pose, pour tout , pour tout .
Q21. Déterminer et .
Q22. Montrer que pour tout entier naturel .
Q23. Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à et pour tout impair .
Q24. Montrer que pour tout , pour tout ,

Q25. Montrer que pour tout .

Q26. Montrer que pour tout , pour tout ,

On suppose dans cette partie qu'il existe tel que pour tout est intégrable sur et que . On pose, sous réserve d'existence,
et pour tout ,
.
Q27. Montrer pour tout que est bien définie et ne dépend pas de l'entier . On note à présent la valeur de , où .

Q28. Déterminer ainsi que et .

Q29. On suppose dans cette question que et que la suite ( ) converge vers 0 . Montrer que . Qu'obtient-on si converge ?

On note l'espace vectoriel normé muni de la norme uniforme. Si , on note la norme uniforme de sur . On admettra qu'une forme linéaire est continue sur si et seulement si il existe une constante telle que, pour tout .
On considère une forme linéaire continue sur vérifiant . Soit la suite de polynômes définie par , pour tout et . On pose de plus, sous réserve d'existence, pour tout , pour tout désigne une fonction de classe sur .

Q30. Montrer que la suite ( ) existe bien et est unique.
Q31. Montrer qu'il existe telle que pour tout .
Q32. Montrer qu'il existe telle que pour tout , pour tout existe.
Q33. Montrer que pour tout est de classe sur .
Q34. Montrer que pour tout il existe un réel tel que pour tout .
Q35. Montrer que pour tout . En déduire la valeur de .
Q36. Justifier que la famille de polynômes ( ) définie en B-I existe et est unique et montrer que pour tout , la fonction est développable en série entière au voisinage de 0 et que ce développement est .

Q37. Montrer que pour tout , pour tout ,

Q38. Montrer que pour tout , pour tout ,

Q39. Justifier que l'application linéaire est continue sur . Qu'obtient-on pour cette application?
Q40. Soit . À l'aide de la fonction montrer que pour tout ,

Dans la suite est définie par, pour tout . Les polynômes sont alors notés et sont appelés polynômes d'Euler. On note pour tout .

Q41. Montrer qu'il existe tel que pour tout , pour tout .

Q42. En déduire que pour tout .
Q43. Montrer que pour tout , pour tout , .

Q44. On pose pour tout . Montrer que pour tout , pour tout , .